Матрицанинг рангини унинг минорларидан фойдаланиб хисоблаш

Матрицанинг рангини унинг минорларидан фойдаланиб хисоблаш

Режа:

1. Матрицанинг ранги ва унинг нолдан фаркли минорларининг тартиби орасидаги богланиш.
2. Матрицалар купайтмасининг детерминанти.
3. Мисоллар. (Детерминантларни хисоблаш).

1. Фараз этайлик бизга mxn -тартибли Aк(a_{i j}) матрица берилган булсин. Биз бундан аввал матрицанинг рангини элементар алмаштиришлардан фойдаланиб хисоблаш мумкин эканлигини курган эдик. Энди ушбу теоремани исботлаймиз.

1-теорема. Aк(a_{i j}) матрицанинг ранги унинг нолдан фаркли минораларининг энг юкори тартиблисининг тартибига тенг.
Исботи. A матрицада холдан фаркли энг юкори k-тартибли минор М унинг юкори чап бурчагида жойлашган булсин:

Акс холда A нинг сатр ва устунларининг уринларини узаро алмаштириб шу холга олиб келиш мумкин. Бу билан унинг ранги узгармайди.
A нинг s- сатри (s к1, 2, 3 , ... , m) биринчи k та сатрлар оркали чизикли ифодаланади.Ушбу (k+1)- тартибли детерминант _i ни караймиз:

Бу ерда iк 1, 2, . . . , n; s к k+1, k+2, . . . , m . Барча iк 1, 2, . . . , n лар учун _i к 0, чунки i k да _i да иккита бир хил устун мавжуд булади. k+1 i да эса _i A нинг (k+1) - тартибли минорини ифодалайди, шунинг учун хам _i к0 . _i ни охирги устун элементлари буйича ёйсак
a_1i A_1i + a_2i A_2i +…+ a_ri A_ri + a_{s i} A_{s i} к 0, (1)
Бунда A к(-1)^k+1+k+1 M кMк0 булгани учун (1) ни a_{s i} га нисбатан ечсак
a_{s i} к_{1 i} a_{1 i} + _{2 i} a_{2 i} + . . . + _{r i} a_{r i} , (iк 1, 2, . . . , n; s к k+1, k+2, . . . , m) га эга буламиз. Бундан куринадики A нинг s-cатри биринчи k та сатрлари оркали чизикли ифодаланади. Демак, A матрицанинг ранги (сатрлар буйича ранги) k га тенг.
Натижа. Детерминантнинг нолга тенг булиши учун унинг сатрлари (устунлари) чизикли богланган булиши зарур ва етарлидир.
Мисол . матрицанинг рангини хисобланг.
Аввало шуни таъкидлаш керакки, матрицанинг рангини минорлардан фойдаланиб хисоблашда факат бир-бирининг ичига жойлашган минорларини текшириш кифоя.
Бизнинг мисолимизда М₁ к1  0

Демак, r(A) к 4.


2. Матрицалар купайтмасининг детерминанти
2- теорема. A ва B n-тартибли квадрат матрицалар купайтмасининг детерминанти шу матрицалар детерминантларининг купайтмасига тенг.
Исботи. Агар AкE- бирлик матрица булса  E B  к 1  B  к  E   B  .
яъни бу холда теорема уринли.
2-теоремани исботлашдан олдин ушбу леммани исботлаймиз.
Лемма. Агар A’’ матрица A’ матрицадан бирта элементар сатр алмаштириш ёрдамида хосил килинган булса, у холда
 A’ В  к  A’    В  (2)
дан
 A’’ В  к  A’’    В  (3)
келиб чикади.
Исботи. Фараз этайлик A’’ матрица A’ матрицадан куйидаги элементар алмаштиришларнинг бири оркали хосил килинган булсин: