Матрицы и действия над ними

Матрицы и действия над ними

Определения

• Матрица – прямоугольная или квадратная таблица, заполненная числами.
• Элементы матрицы – это числа составляющие данную матрицу. Первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца.

числа ai j - элементы матрицы
- матрица размера m на n

Виды матриц

• Если в выражении m = n, то говорят о квадратной матрице, а если m n, то о прямоугольной.

• квадратная

матрица

- матрица - столбец
- матрица - строка

• прямоугольная матрица

Матрица, состоящая из одного элемента A=(a11)1×1=a11

Принцип нумерации строк и столбцов

• Строки нумеруются сверху вниз, начиная с №1
• Столбцы нумеруются слева направо, начиная с №1

Треугольные матрицы

• Треугольная матрица — квадратная матрица, в которой все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю.

- треугольная матрица
- верхняя треугольная матрица
- нижняя треугольная матрица

Операции над матрицами. Умножение числа на матрицу

Произведением числа на матрицу A = (aij) называется матрица B = (bij) такая, что B = λA
Элементы матрицы вычисляются по формуле
bij = λaij,
где i = 1,2, …, m
j = 1,2, …, n

Операции над матрицами. Сложение матриц

Суммой матриц A = (aij) и B = (bij), называется матрица C = (cij) такая, что С = A + B.

Элементы матрицы вычисляются по формуле

сij = aij + bij

где i = 1,2, …, m

j = 1,2, …, n

Операции над матрицами Вычитание матриц

Разностью матриц A = (aij) и B = (bij), называется

матрица C = (cij) такая, что C = A + (-1) * B

Элементы матрицы C вычисляются по формуле -

сij = aij - bij

где i = 1,2, …, m

j = 1,2, …, n

Операции над матрицами. Умножение матрицы на матрицу

• Элемент i-й строки и j-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

Системы линейных уравнений

Определение

• Система m линейных уравнений с n неизвестными

 (или, линейная система) в линейной алгебре — это

система уравнений вида

Матричная форма

• где A - матрица коэффициентов при переменных
• x – матрица - столбец неизвестных
• B – матрица – столбец свободных членов

Матричный вид

или

«Математика – царица всех наук». Карл Фридрих Гаусс (1777-1855 г.г.) – немецкий математик, физик, астроном, геодезист.

Круг его интересов в точных науках:

• теория чисел (числа простые и периодические дроби), • геометрия (правильные многоугольники,

теория поверхностей),

• алгебра (доказательство основной теоремы алгебры о числе корней алгебраического уравнения),

• астрономия (вычисление орбит планет),

• физика (электромагнетизм).

Труды К. Гаусса изданы в Германии в 12-ти томах.

Метод Гаусса

• С помощью элементарных преобразований над расширенной матрицей система приводится к «ступенчатому» виду.

система линейных
уравнений
ступенчатый вид

Формулы

• 1. где
• 2.
• 3.

Пример

• 1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса