Matritsalar va ular ustida asosiy amallar. Elementar bo‘luvchilar. Chiziqli avtonom sistemalarning turg‘unligi

matritsa ortogonal deb ataladi.
Bu ta’rifdan ortogonal matritsaga xos ba’zi natijalar kelib chiqadi:

1. 
   transponerlangan matritsa teskari matritsaga teng:
   

;

2. 
   Ortogonal matritsa determinanti ga teng:
   

(5.18)
3) Ixtiyoriy satr (ustun) elementlari kvadratlari yig’indisi birga teng:

4) Biror qator (ustun) elementlar ko’paytmasining boshqa qator (ustun) elementlari ko’paytmasiga yig’indisi nolga teng :

Agar matritsa elementlari biror skalyar parametrga bog’liq bo’lsa, masalan t vaqtga, u holda parametr bo’yicha matritsa hosilasi deb, shu parametr bo’yicha olingan xosilaga teng elementlardan tashkil topgan matritsaga aytiladi. Shunday qilib, agar , u holda

yoki boshqa belgilashlarda:

Shu vaqtgacha elementlari sonlardan tashkil topgan matritsa qaralgan edi. Elementlari faqat son emas balki boshqa obyektlar bo’lgan matritsani tasavvur qilish mumkin. Faqat bunday matritsa ustida amallar aniqlangan bo’lishi kerak. Xususan, elementlari matritsalar bo’lgan murakkab matritsani qarash mumkin. Masalan,

matritsani, qisqacha qilib quyidagicha yozish mumkin:

bu yerda

2. 
   Differensial tenglamalar sistemasining matritsaviy ko’rinishdagi yozilishi. (5.1) differensial tenglamalarni matritsalar yordamida sodda ko’rinishda yozish mumkin. Ikkita matritsani kiritamiz.
   

1. 
   (5.1) tenglamalarning o’ng tomoni koeffitsientlari:
   

2. 
   Ustun – matritsa yoki vektor
   

Bular ko’paytmasidan matritsalar tuzamiz. (5.8) formulaga asosan
(5.19)
ya’ni, A kvadrat matritsaning x ustun matritsaga ko’paytmasi, (5.1) tenglamalar o’ng tomoniga teng elementlardan tashkil topgan ustun matritsaga teng. Ravshanki, quyidagi sodda matritsaviy ko’rinishda yozish mumkin:
(5.19a)
Bu tenglamada ustun matritsaning vaqt bo’yicha hosilasi.
Xuddi shunday matritsaviy ko’rinishda boshqa murakkabroq differensial tenglamalarni ham yozish mumkin.
Xususan, ikkinchi tartibli tenglamalar
(5.20)
matritsaviy ko’rinishda quyidagicha yozilishi mumkin:
(5.21)
bu yerda kvadrat matritsalar, x va va mos elementli ustun matritsalar.

3. 
   Kvadratik formalarning matritsaviy ko’rinishi. A kvadrat matritsa va x – ustun matritsani qaraylik. Ularning ko’paytmasini (5.19) ustun matritsa aniqlaydi. Avval ta’kidlanganidek, ustun matritsani vektor deb olish mumkin. Shundan foydalanib (5.19) matritsa elementlari va x ustun matritsa elementlarini Ax va x vektorlar tashkil qiluvchisi deb qaraymiz. U holda ularning skalyar ko’paytmasi proyeksiyalar ko’paytmasi yig’indisiga teng, ya’ni:
   

qavslarni ochib va guruhlab:

(5.22)
qisqacha qilib:
(5.23)
Agar A matritsa simmetrik bo’lsa, u holda va oddiy kvadratik formani topamiz:

(5.24)
Agar kvadratik forma aniq – musbat bo’lsa, u holda osonlik uchun A matritsa aniq – musbat deb ataladi.
Agar A matritsa kososimmetrik bo’lsa, u holda ya’ni . (5.22) tenglik asosida A kososimmetrik matritsa uchun ko’paytma
(5.25)
degan xulosaga kelamiz. Bu tenglikdan quyida foydalanamiz.
Elementar bo’luvchilar
elementlari biror λ parametr bo’yicha polinom hisoblanuvchi kvadrat matritsani qaraymiz:
(5.26)
Bunday matritsalar λ – matritsalar deb ataladi. orqali yuqori xadlar oldidagi koeffitsientlarini birga teng deb olingan (5.26) matritsa chi tartibli barcha minorlarning eng katta umumiy bo’luvchisidir. ko’pxad ko’pxadga bo’linishini ko’rsatish oson. ning eng katta umumiy bo’luvchilarini aniqlashda quyidagini esda tutgan ma’qul: agar tartibli biror minor o’zgarmas qiymatga ega bo’lsa, u holda (chunki minor ga bo’linishi kerak, esa ga bo’linishi kerak).
Quyidagi nisbatga teng ko’pxad:
(5.27)
(5.26) matritsaning invariant ko’paytuvchisi deb ataladi. Ravshanki:

esa o’zgarmas ko’paytuvchigacha aniq bo’lgan holda ga teng:
(5.28)
Har bir invariant ko’paytuvchini ko’paytuvchiga ajratamiz:

bu yerda quyidagi tenglamaning turli ildizlari:
(5.29)
Ravshanki:

Bundan tashqari, , agar (chunki ga bo’linadi).
ikkixad, ga ko’paytuvchi sifatida kiruvchi va o’zgarmas sondan farqli sonlar (ya’ni, ), λ – matritsaning elementar bo’luvchilari deb ataladi. Ularning umumiy sonini m orqali, bo’luvchilarni esa orqali belgilaymiz, sonlar orasida tenglari ham bo’lishi mumkin. ( binomlar har xil invariant ko’paytuvchilarga kiradi).
Misol. Quyidagi matritsa uchun
(5.30)
to’rtta birinchi tartibli minor tuzish mumkin:

ularning eng katta umumiy bo’luvchisi:

ga teng.
(5.30) matritsa uchun ikkinchi tartibli bitta minor mavjud:

uning eng katta umumiy bo’luvchisi

(5.27) formuladan foydalanib, invariant ko’paytuvchilarni topamiz:

Qaralayotgan matritsa uchun elementar bo’luvchilar:

ildizlari:

Bu ildizlar quyidagi tenglama uchun ham ildiz bo’lib hisoblanadi:

biroq bu tenglama uchun ildiz uch karrali bo’lsa, u holda bu ildiz bitta elementar bo’luvchi uchun oddiy, boshqasi uchun esa ikki karrali.
Quyidagi matritsa:
(5.31)
bu yerda – (5.26) matritsaning invariant ko’paytuvchilari, bu matritsaning normal diogonal formasi deb ataladi. Masalan, (5.30) matritsa uchun normal diogonal formasi bo’lib quyidagi matritsa hisoblanadi:

λ matritsaning elementar shakl almashtirishlari deb quyidagi amallar hisoblanadi:

1.