Matritsalar va ular ustida asosiy amallar. Elementar bo‘luvchilar. Chiziqli avtonom sistemalarning turg‘unligi

Chiziqli avtonom sistemalarning turg‘unligi.
Reja.
Kirish

1. 
   Matritsalar va ular ustida asosiy amallar.
   
2. 
   Elementar bo‘luvchilar.
   
3. 
   Chiziqli avtonom sistemalarning turg‘unligi.
   
4. 
   Rezonans turg‘unligi.
   

Tayanch so’z va iboralar: ustun – matritsa, qator – matritsa, kvadrat – matritsa, vektor, matritsa izi, birlik matritsa, diogonal matritsa, maxsus, maxsusmas, transponerlash, ortogonal matritsa, elementar bo’luvchi, Jordan katagi, karrali ildiz, ekvivalent.
Kirish
Bu bobda chiziqli avtonom sistemalar harakat turg’unligi tadqiqoti usullarini o’rganishda davom etamiz. Oddiy holatda qo’zg’almagan harakat differensial tenglamasi quyidagi ko’rinishga ega:


(5.1)
bu yerda koeffitsientlar – o’zgarmas haqiqiy sonlar.
(5.1) sistema xarakteristik tenglamasi oddiy ildizlarga ega bo’lgan holni § 4.2 da ko’rilgan edi. Bu bobda harakat turg’unligini xarakteristik tenglamaning ixtiyoriy ildizlari uchun o’rganamiz.
Qo’zg’algan harakat (5.1) tenglama orqali tasvirlanadigan sistema turg’unligi muammosini hal qilish matritsalar nazariyasiga oid ba’zi tushunchalarni o’rganishni talab qiladi. Bundan tashqari bunday tenglamalar nazariyasi matritsali ko’rinishda soddaroq tushuntiriladi. Shuning uchun bu bob matritsalar nazariyasini asosiy va ba’zi maxsus bo’limlarini o’rganishdan boshlanadi. Matritsali hisoblashdan xabari bor kitobxon keyingi paragrafni tashlab ketishi mumkin.
Matritsalar va ular ustida amallar

1. 
   Asosiy ta’riflar. n ta satr va m ta ustundan tashkil topgan to’g’ri to’rtburchakli jadval ko’rinishida joylashgan sondan iborat ixtiyoriy sistema matritsa deyiladi. Matritsa tashkil qiluvchi sonlar (ya’ni jadval), matritsa elementlari deb ataladi, umumiy holda pastda indekslar bilan yoziladi (birinchi indeks qator raqami, ikkinchisi esa ustun raqami), matritsaning o’zi o’sha xarf bilan faqat indekssiz belgilanadi. Masalan, ko’rinishidagi A matritsa quyidagicha yoziladi:
   

Martitsani qisqacha quyidagicha yozish mumkin:

Agar ustunlar soni bitta bo’lsa , u holda ustun matritsa hosil bo’ladi:
(5.2)
Agar qatorlar soni bitta bo’lsa , u holda qator matritsa hosil qo’ladi:
(5.3)
Ixtiyoriy koordinataga ega x vektorni x ustun-matritsa yoki x satr-matritsa kabi yozish mumkin. Shunday qilib, x vektorning ortlari bo’yicha yoyilmasi:
(5.4)
va uning (5.2) ustun-matritsa ko’rinishida yozilishini ekvivalent deb olamiz.
Agar matritsaning satr va ustunlari soni bir xil bo’lsa, u holda bu matritsa kvadrat matritsa deb ataladi, uning qatorlari soni (ustunlar) matritsa tartibi deb ataladi.
Matritsaning k ustun va k satrdagi elementlardan tashkil topgan determinant k – chi tartibli minor deb ataladi. Masalan, birinchi tartibli minorlar o’sha elementlar bo’ladi, va ular soni ga teng.

matritsa uchun ikkinchi tartibli 3 ta turli xil minorlar tuzish mumkin:

n tartibli A kvadrat matritsaning n – tartibli minori A matritsa determinantiga teng va u yoki kabi belgilanadi.
Ikki matritsaning satrlar va ustunlar soni va mos elementlari o’zaro teng bo’lsa bu matritsalar teng deb ataladi. Shuning uchun matritsaviy tenglik skalyar tenglikka ekvivalent:
(5.5)
Matritsaning songa ko’paytmasi deb, shunday yangi matritsaga aytiladiki, uning elementlari oldingi matritsa elementlarining shu songa ko’paytmasidan hosil bo’ladi:
(5.6)
Masalan:

Barcha elementlari nolga teng bo’lgan matritsa nol matritsa deb ataladi va 0 belgisi bilan belgilanadi.
Bir xil turdagi matritsalar yig’indisi deb, mos elementlari yig’indisidan hosil bo’lgan yangi matritsaga aytiladi. Masalan:

Keltirilgan ta’riflardan quyidagi kelib chiqadi (lotin harflar orqali matritsalar, grek harflar orqali skalyarlar belgilanadi):




(5.7)