Matritsalar va ular ustida asosiy amallar. Elementar bo‘luvchilar. Chiziqli avtonom sistemalarning turg‘unligi

bo’ladi.
2 – teorema. Agar s tartibli A va C kvadrat matritsalar simmetrik bo’lsa va A matritsasi aniq ishorali bo’lsa, u holda:

1. 
   
   

xarakteristik tenglama barcha ildizlari haqiqiy;

2. 
   Doim shunday maxsusmas matritsa topiladiki:
   

(5.42)
bu yerda E – birlik, diogonal matritsa:
(5.43)
va xarakteristik tenglama ildizlariga teng.
Teoremaning ikkinchi qismi quyidagi tasdiqqa teng kuchli: agar ikkita kvadratik forma berilgan bo’lsa:


va ularning birinchisi aniq – musbat bo’lsa, u holda shunday shakl almashtirish topiladiki:

maxsusmas matritsa bilan yangi o’zgaruvchilarda ikkala kvadratik forma kvadratlar yig’indisiga teng bo’ladi:


bu yerda ulardan birinchisining (aniq – musbat) barcha koeffitsientlari birga teng.
(5.42) tenglikning ikkinchisiga (5.9) formulani qo’llaymiz:

ni hisobga olgan holda:

ni topamiz, bu yerda shakl almashtirish matritsasi determinanti.
diogonal matritsa bo’lganligi sabab, . Demak

Agar shakl almashtirish matritsasi ortogonal matritsa bo’lsa, u holda (5.18) va so’nggi tenglik quyidagi ko’rinishga keladi:
(5.44)
Bundan tashqari, ixtiyoriy B kvadrat matritsaning ortogonal shakl almashtirish izi, matritsa iziga teng bo’ladi: ya’ni
(5.45)
Chiziqli avtonom sistemalar turg’unligi. Rezonans turg’unligi.
Misollar.
Aytaylik, qo’zg’algan harakat o’zgarmas koeffitsientli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi bilan aniqlangan bo’lsin. Bu tenglamalar normal formaga keltirilgan deb olamiz:
(5.46)
bu yerda x – ustun matritsa (vektor), A – kvadratik matritsa.
Chiziqli almashtirishlar yordamida x vektordan vektorga o’tamiz ( o’zgaruvchilardan o’zgaruvchilarga)
(5.47)
maxsusmas matritsa bilan.
vektorning x vektorga aks shakl almashtirishini topamiz. Buning uchun (5.47) tenglikning ikkala qismini chapdan matritsaga ko’paytiramiz ( uchun teskari matritsa mavjud, chunki maxsusmas)

yoki, ni hisobga olgan holda
(5.48)
Bu tenglikning vaqt bo’yicha differensiallaymiz.

(5.46) tenglikka asosan ni ga almashtiramiz:

va bu yerda (5.48) teskari shakl almashtirishni hisobga olib quyidagini topamiz:

Bu tenglikning ikkala qismini chapdan matritsaga ko’paytiramiz, va ni hisobga olib:
(5.49)
ni topamiz, bu yerda B matritsa quyidagi tenglik bilan aniqlangan:
(5.50)
Shunday qilib, (5.47) shakl almashtirish izlanayotgan x vektor bilan (5.46) qo’zg’algan harakat matritsaviy tenglamani, izlanayotgan vektor bilan (5.49) matritsaviy tenglamaga o’tkazadi. Aniqki, agar harakat o’zgaruvchi vektorga nisbatan turg’un (noturg’un) bo’lsa, u holda bu harakat x o’zgaruvchi vektorga nisbatan turg’un (noturg’un) bo’ladi.
(5.50) tenglikdan va aytilgan chiziqli algebra teoremasidan va matritsalar elementar bo’luvchilari bir xil bo’luvchilarga ega ekanligi kelib chiqadi. (5.49) shakl almashgan sistema bu xossasidan foydalangan holda chiziqli bo’lmagan (5.47) shakl amlashtirishni topish mumkin, va xarakteristik matritsalar elementar bo’luvchilarni shartidan esa B matritsani aniqlash mumkin.
(5.49) yangi differensial tenglama sifatida shunday tenglamani olamizki, uning koeffitsientlari matritsasi (5.46) tenglamaning A matritsasi uchun Jordan normal formasi hisoblanadi:
(5.51)
bu yerda

(5.51) koeffitsientlar matritsasi bilan (5.49) shakl almashgan tenglamaga kiruvchi z o’zgaruvchi vektor kanonik vektor uning elementlari esa – kanonik o’zgaruvchilar deb ataladi.
Ta’kidlab o’tamizki, kanonik o’zgaruvchilarga o’tish uchun (5.47) shakl almashtirish formulasi kerak emas – matritsa elementar bo’luvchilarini bilishi yetarli.
Kanonik o’zgaruvchili differensial tenglamalar m ta turli xil guruhlarga bo’linadi va ularning har biri o’z elementar bo’luvchisiga yoki jordan katagiga mos. Birinchi guruhni yozamiz:


(5.52)


(5.52) tenglamalar elementar integrallanadi. Haqiqatdan ham birinchi tenglamadan:

ni topamiz, bu yerda ning boshlang’ich qiymati. uchun topilgan qiymatni ikkinchi tenglamaga qo’yamiz:

Uni integrallab quyidagi tenglamaga ega bo’lamiz:

Bu jarayonni davom ettirib (5.52) tenglama yechimini topamiz:


(5.53)


Xuddi shundek analogik yechimlarni boshqa guruhlarga ham topamiz.
Endi harakat turg’unligi haqidagi savolni ko’rib chiqamiz. Aytaylik

bu yerda va – haqiqiy sonlar. U holda

Endi va larda quyidagini hisobga olamiz:

demak

Bu tenglikdan da :



Ko’rsatkichli funksiya ixtiyoriy ko’pxaddan tez o’sganligi sabab, uchun quyidagiga ega bo’lamiz:
(5.54)
Bu yerda oxirgi holatda, deb faraz qilinyapti.
(5.53) umumiy yechim va (5.54) limit tengliklardan bevosita (5.1) differensial tenglama yoki (5.46) matritsaviy ko’rinishdagi harakat sistemasi turg’unligi haqidagi quyidagi teoremalar kelib chiqadi.
1. Agar xarakteristik tenglamaning barcha ildizlari haqiqiy qismi manfiy bo’lsa, u holda qo’zg’almagan harakat assimptotik turg’un.