Matritsalar va ular ustida asosiy amallar. Elementar bo‘luvchilar. Chiziqli avtonom sistemalarning turg‘unligi

Ikki satr yoki ikki ustun o’rin almashtirishi;

Biror satr (ustun) barcha elementlarining biror noldan farqli o’zgarmas songa ko’paytirish;

Biror satr (ustun) elementlarining, boshqa satr (ustun) elementlarini λ ga bog’liq polinomga ko’paytirilgani bilan yig’indisi;

Isbotlanadiki:

1. 
   Elementar shakl almashtirishlar λ matritsaning elementar bo’luvchilarini o’zgartirmaydi;
   
2. 
   Chekli sondagi elementar shakl almashtirishlarga ega ixtiyoriy λ matritsani (5.31) normal diogonal formaga keltirish mumkin.
   

(5.30) matritsa misolida buni ko’rsatamiz. Bu matritsada ikkinchi satrni birinchisini o’rniga, ikkinchi ustunni birinchisini o’rniga. Bir matritsadan elementar shakl almashtirishlar orqali boshqa ko’rinishga o’tishni strelka orqali belgilaymiz:

Ikkinchi ustun elementlaridan birinchi ustun elementlarini ayiramiz:

Birinchi satr elementlarini ga ko’paytiramiz va ikkinchi satr elementlaridan ayiramiz:

Ushbu matritsa (5.30) matritsa uchun normal diogonal matritsa hisoblanadi.
Ta’kidlab o’tamizki, elementar shakl almashtirishlar elementar bo’luvchilarni aniqlash uchun qo’llaniladi.
Quyidagi ko’rinishdagi tartibli matritsani qaraylik:
(5.32)
Ushbu kvadrat matritsada asosiy diogonal bo’yicha bir xil son, uning ostidagi diogonalda birlar turibdi qolgan elementlar nolga teng. Bu ko’rinishdagi matritsa Jordan katagi yoki elementar quti deb ataladi.
ning matritsasini tuzib olamiz (ta’idlab o’tamiz, E – birlik matritsa):
(5.33)
Ushbu matritsaning birinchi satr va oxirgi ustunini o’chirib yuboramiz, qolgan elementlardan tartibli minor tuzib olamiz:

Bu minor birga teng ekanidan . Boshqa tomondan tartibli yagona minor quyidagiga teng:

Bundan quyidagi kelib chiqadi:

(qavsda va ning o’rni almashtirilgan, chunki da yuqori xad birga teng koeffitsientga ega bo’lishi kerak).
(5.27) formuladan fordalanib, matritsa uchun invariant ko’paytuvchilarni topamiz:

Bundan, matritsa faqat bitta ga teng elementar bo’luvchiga egaligi kelib chiqadi.
Aytaylik, A – elementlari o’zgarmas son bo’lgan kvadrat matritsa bo’lsin. ning matritsasini tuzamiz (A matritsa uchun xarakteristik deb ataladi):
(5.34)
Ushbu matritsaning elementar bo’luvchilarini topamiz:

Elementar bo’luvchining har bir ildiziga o’zining jordan katagi to’g’ri keladi. Ushbu A matritsa uchun Jorgan normal formasi deb, diogonal elementlari jordan kataklariga, qolgan elementlari nolga teng bo’lgan matritsaga aytiladi.
(5.35)
matritsaning elementar bo’luvchilari, xarakteristik matritsaning elementar bo’luvchilari bilan mos tushadi. Ta’kidlab o’tamizki, xarakteristik tenglama ildizlari elementar bo’luvchilar ildizlari bilan mos tushadi.
Misol 1.
(5.36)
Ushbu matritsani Jordan normal formasiga keltirish uchun (5.34) xarakteristik matritsaning elementar bo’luvchilarini topamiz:

Buning uchun elementar almashtirishlardan foydalanamiz. Birinchi satrni ga ko’paytiramiz, so’ng oxirgi ustunni ga ko’paytirib birinchi ustunga qo’shamiz (yuqori burchakda nol hosil qilish uchun), shundan so’ng ikkinchi va uchinchi ustunlardan oxirgi ustunni ayiramiz (yuqori satrda yana ikkita nol hosil qilish uchun):

Birinchi va uchinchi satrni qo’shamiz, keyin birinchi satrni ga ko’paytirib undan to’rtinchi satrni ayiramiz; so’ng oxirgi va birinchi ustunlar o’rnini almashtiramiz:
.
Ikkinchi ustunni ga ko’paytirib uchinchi ustunga qo’shamiz (ikkinchi satrda yana bitta nol hosil qilish uchun):

Endi ikkinchi ustunda birdan keyin nollar qo’yish mumkin (buning uchun ikkinchi satrni avval ga ko’paytirib so’ng uchinchi satrga qo’shamiz, keyin ikkinchi satrni ga ko’paytirib to’rtinchi satrga qo’shamiz). Shundan so’ng to’rtinchi ustunni ga ko’paytirib uchinchi ustunga qo’shamiz:

Uchinchi satr bilan to’rtinchi satrni qo’shamiz, so’ng bu satrni ga ko’paytirib uchinchi va to’rtinchi satrlar o’rnini almashtiramiz:
(5.37)
xarakteristik matritsaning normal diogonal formasi hosil bo’ldi. Bundan

ni topamiz. Demak matritsa uchta elementar bo’luvchiga ega:

va bularning ildizi:

Albatta bu ildizlar bir vaqtning o’zida

xarakateristik tenglamaning ildizlari bo’lib ham xizmat qiladi.
Quyidagi muhim holatni ta’kidlab o’tamiz: elementar bo’luvchilar va xarakteristik tenglama ildizlari doim ustma ust tushadi, lekin ularning karralisi turli hil bo’lishi mumkin. Bu misolda shu holat bo’lmoqda: nol ildiz xarakteristik tenglama uchun ikkinchi karrali, lekin u elementar bo’luvchilar uchun oddiy hisoblanadi (chunki ikkita nol ildizga ikkita elementar bo’luvchi mos keladi). ildizlar xarakteristik tenglama uchun va elementar bo’luvchilar uchun ham bir hil karrali hisoblanadi.
Har bir elementar bo’luvchi uchun o’zining jordan katagi mos keldi. ((5.32) tenglik) :

Endi qaralayotgan matritsa uchun osongina jordan normal formasi quriladi:
(5.38)
bu yerda to’ldirilmagan elementlar nolga teng.
Misol 2.
(5.39)
Xarakteristik matritsa tuzib olamiz:

Sodda shakl almashtirishlar yordamida bu matritsa normal diogonal formaga keltiriladi.

Bundan invariant ko’paytuvchilarni topamiz:

Demak, matritsa bu holda faqat ikkita elementar bo’luvchiga ega:
,
va bularning ildizlari

Bu misolda nol ildiz va haqiqiy manfiy ildiz karrali xarakteristik tenglama va elementar bo’luvchilar uchun bir xildir.
Har bir elementar bo’luvchi uchun o’zining jordan katagi mavjud:

Endi qaralayotgan matritsa uchun osongina jordan normal formasi quriladi:
(5.40)
bu yerda to’ldirilmagan elementlar nolga teng.
Quyidagi holatlarga e’tibor qaratamiz: ikkila misolda ham xarakteristik tenglamalar bir xil ildizga ega: . Biroq jordan normal formasi har xil. Buning sababi, birinchi misolda xarakteristik maritsa uchta elementar bo’luvchiga ega, ikkinchisida esa faqat ikkita.
Yakunda chiziqli algebraning keyinchalik bizga kerak bo’luvchi ikki teoremasini keltiramiz.
1 – teorema. Agar matritsa maxsusmas bo’lsa, u holda va matritsalarning elementar bo’luvchilari bir xil bo’ladi. Aksincha agar va matritsalar elementar bo’luvchilari bir xil bo’lsa, u holda shunday maxsusmas matritsa topiladiki,
(5.41)