Matritsalar va ular ustida asosiy amallar. Elementar bo‘luvchilar. Chiziqli avtonom sistemalarning turg‘unligi

A va B matritsalarning birinchisining ustunlar soni ikkinchisining satrlar soniga teng bo’lgandagi ko’paytmasi deb shunday uchinchi C matritsaga aytiladiki, uning elementlari quyidagi qoidaga asosan hosil qilinadi:
(5.8)
So’zlar orqali bu qoidani quyidagicha aytish mumkin: AB ko’paytma matritsaning k – chi qator va j – chi ustunda turgan elementi birinchi A matritsaning k – chi qatorida turgan elementlarning B matritsaning mos j – chi ustun elementlari ko’paytmasining yig’indisiga aytiladi:


Ikki matritsaning ko’paytmasi ko’paytuvchilar tartibiga bog’liq, ya’ni

Matritsalarni qo’shish va ko’paytirish ta’riflaridan quyidagi kelib chiqadi:

Bundan tashqari, ikkita kvadrat matritsa ko’paytmasi determinanti determinantlar ko’paytmasiga teng:
(5.9)
Kvadrat matritsaning asosiy diogonalida turgan elementlar yig’indisi matritsa izi deb ataladi. Matritsa izi Sp deb belgilanadi. Ta’rifga ko’ra:
(5.10)
Barcha diogonal elementlari birga, qolganlari nolga teng bo’lgan kvadrat matritsa birlik matritsa deb ataladi va E deb belgilanadi:

Bevosita hisoblashlardan quyidagi tenglikni aniqlash mumkin:
(5.11)
Quyidagi kvadrat matritsa diogonal matritsa deb ataladi:

Agar kvadrat matritsa determinanti nolga teng bo’lsa, u holda matritsa maxsusmas, aks holda maxsus deb ataladi. matritsa A ning teskarisi deyiladi, agar yoki ko’paytma E birlik matritsaga teng bo’lsa, ya’ni:
(5.12)
Ixtiyoriy maxsusmas matritsaning teskarisi mavjudligini isbotlash oson.
Agar matritsada satr bilan ustun, ustun bilan satrni almashtirsa, u holda yangi transponerlangan matritsa kelib chiqadi va uni o’sha matritsa harfi tepasida shtrix bilan belgilanadi. Quyidagi matritsa uchun

transponerlangan matritsa:

bo’ladi.
Transponerlash amali ixtiyoriy matritsa uchun o’rinli, xususan, agar ustun matritsani transponerlasak

satr matritsa hosil bo’ladi:

Matritsani transponerlash va ko’paytirish ta’rifidan quyidagi formula kelib chiqadi:
(5.13)
Xuddi shunday formula teskari matritsalar uchun ham o’rinli:
(5.14)
Satrni ustunga, ustunni satrga o’zgartirishdan determinant o’zgarmagani sababli matritsa va unga transponerlangan kvadrat matritsa determinantlari teng:

Agar kvadrat matritsa elementlari asosiy diogonalga nisbatan simmetrik joylashgan bo’lsa, u holda matritsa simmetrik deb ataladi, ya’ni uning elementlari uchun quyidagi tenglik o’rinli:

Masalan:

matritsa – simmetrik.
Ravshanki, transponerlangan kvadratik matritsa matritsaning o’ziga teng:
(5.15)
Agar kavadratik matritsaning asosiy diogonaldagi elementlari nolga teng va asosiy diogonalga nisbatan simmetrik joylashgan elementlar modul jixatdan teng, faqat ishoralari qarama-qarshi bo’lsa, matritsa kososimmetrik deb ataladi, ya’ni:

Masalan:

matritsa – kososimmetrik.
Aytilgan ta’rifdan kososimmetrik matritsa uchun quyidagi tenglik o’rinli:
(5.16)
Oliy algebrada quyidagi tasdiq isbotlanadi: toq tartibli kososimmetrik determinant nolga teng, juft tartibli kososimmetrik determinant esa uning elementlari butun ratsional funksiyasi kvadratiga teng. Shunday qilib, haqiqiy elementli kososimmetrik determinant manfiy emas.
Ixtiyoriy kvadratik matritsaning simmetrik va kososimmetrik matritsalar yig’indisi ko’rinishida yozish mumkin ekanini isbotlash oson. Aytaylik

ixtiyoriy kvadratik matritsa bo’lsin. Undan ikkita matritsa tuzib olamiz:
(5.17)
Ko’rinib turibdiki, A matritsa simmetrik, B matritsa esa kososimmetrik.

tenglik tasdiqni isbotlaydi.
kvadrat matritsaning, uning transponerlangan matritsasiga ko’paytmasi birlik matritsaga teng bo’lsa: