Matritsalar va ular ustida asosiy amallar. Elementar bo‘luvchilar. Chiziqli avtonom sistemalarning turg‘unligi

2. Agar xarakteristik tenglamaning ildizlari orasida hech bo’lmaganda bitta haqiqiy qismi musbati mavjud bo’lsa, u holda qo’zg’almagan harakat noturg’un.
3. Agar xarakteristik tenglamaning ba’zi ildizlari orasida haqiqiy qismi nolga tenglari mavjud bo’lsa va boshqa ildizlarining haqiqiy qismi manfiy bo’lsa, u holda:
a) qo’zg’almagan harakat turg’un bo’ladi (assimptotik emas), agar haqiqiy qismi nol bo’lgan ildizlarga oddiy elementar bo’luvchilar mos kelsa (ya’ni );
b) qo’zg’almagan harakat noturg’un bo’ladi, agar haqiqiy qismi nolga teng bo’lgan hech bo’lmaganda bittasi mos elementar bo’luvchiga karrali bo’lsa ( ).
Misollarga o’tishdan oldin uchta tasdiq keltirib o’tamiz.

1. 
   Chiziqli statsionar sistemalar turg’unligini o’rganishda avvalo xarakteristik tenglama ildizlarini aniqlash kerak. Agar barcha ildizlari haqiqiy qismi manfiy bo’lsa yoki hech bo’lmaganda haqiqiy qismi musbat bitta ildiz mavjud bo’lsa, u holda turg’unlik masalasi hal bo’ladi va elementar bo’luvchilarni o’rganishga hojat yo’q, ya’ni murakkabroq masalani yechish kerakmas. Agar haqiqiy qismi nol bo’lgan ildizlar tub bo’lsa va qolgan ildizlar manfiy haqiqiy qismga ega bo’lsa masala oson yechiladi.
   

Shunday qilib elementar bo’luvchilarni aniqlashga faqat quyidagi holda harakat qilish kerak: agar xarakteristik tenglama ildizlari orasida haqiqiy qismi nolga teng ildizga karralilari mavjud bo’lsa va qolgan ildizlari haqiqiy qismi manfiy bo’lsa.

2. 
   Ba’zi hollarda nafaqat harakat turg’unligi haqidagi savolga javob berish kerak bo’ladi, balki o’zgaruvchilarni kanonik o’zgaruvchilarga o’tkazuvchi shakl almashtirish maritsasini aniqlash kerak bo’ladi. Buning uchun (5.50) tenglikdan foydalangan ma’qul, bunda bu tenglikni matritsaga o’ng tarafdan ko’paytiramiz:
   

(5.55)
Bu ga nisbatan matritsaviy tenglama ikkita ma’lum matritsani o’z ichiga oladi (A berilgan B esa A uchun jordan normal formasi va A bo’yicha topiladi). (5.55) matritsaviy tenglama ga ga nisbatan skalyar bir jinsli tenglama bilan ekvivalent va u mos elementlar tengligini ifodalaydi. Shuning uchun cheksiz ko’p sonli shakl almashtirish matritsasi mavjud.
teskari matritsani quyidagi tenglama orqali aniqlaymiz:
(5.56)
bu tenglama (5.50) tenglikni chapdan ga ko’paytirish orqali aniqlanadi.

3. 
   Ko’p hollarda qo’zg’algan harakat tenglamalari normal formaga keltirilgan bo’lmaydi va birinchi tartibdan yuqori hosilalarga ega. Elementar bo’luvchilarni aniqlash va turg’unlik haqidagi savolga javob berish uchun sistemani normal formaga keltirish shart emas – bu sistema uchun xarakteristik matritsani tuzib o’rganish yetarli. Buni quyidagi misolda ko’rsatamiz:
   

(5.57)
va x ustun matritsalarga nisbatan turg’unlikka tekshirish uchun xarakteristik matritsaning elemetar bo’luvchilarni aniqlash yetarli:
(5.58)
Haqiqatdan ham, birinchi tartibli sistemaga o’tamiz, buning uchun deb olamiz. U holda (5.57) tenglama birinchi tartibli ikkita tenglamalar sistemasiga aylanadi:


Bu sistemaning xarakteristik matritsasi quyidagi ko’rinishga ega (elementlari matritsa hisoblanadi):

Sodda almashtirishlardan foydalanamiz: ikkinchi ustunni ga ko’paytirib birinchiga qo’shamiz, shundan so’ng ularni o’rnini almashtiramiz:

Birinchi satrni ga ko’paytirib ikkinchi satrga qo’shamiz, so’ng ikkinchi ustunni ga ko’paytiramiz:

shu bilan tasdiq isbotlandi.
1–misol. Qo’zg’algan harakat tenglamasi quyidagi ko’rinishga ega bo’lgan sistema turg’unligini o’rganamiz:




§ 5.3 dagi 1 – misolda bu tenglamaning xarakteristik tenglamasi ikkita noldan farqli ga teng ildizga ega ekani aniqlangan edi. Oxirgi ildiz xarakteristik tenglamaga nisbatan ham karrali, elementar bo’luvchiga nisbatan ham, lekin u turg’unlikka ta’sir qilmaydi (chunki u haqiqiy manfiy). Nolga teng ildizga keladigan bo’lsak, xarakteristk tenglama uchun ikkinchi karrali bo’lsa ham elementar bo’luvchilar uchun oddiy hisoblanadi. Demak, qo’zg’almagan harakat o’zgaruvchilarga nisbatan turg’un.
Bu xulosani kengroq o’rganamiz. Kanonik o’zgaruvchilarda qo’zg’almas harakat tenglamasi uchta o’zaro mustaqil guruhlardan tashkil topgan:

(birinchi guruh – 1 – chi tenglama, ikkinchi guruh – 2 – chi tenglama, uchinchi guruh oxirgi ikki tenglama). Bu tenglamalarning oxirgi yechimini yozamiz:

bo’lganda va o’zgaruvchilar nolga intiladi, va lar o’zgarishsiz qoladi va mos boshlang’ich shartlarda ularning moduli yetarlicha kichik qilinishi mumkin. Demak, ta’kidlab o’tilganidek, qo’zg’almagan harakat kanonik o’zgaruvchilar to’plamiga nisbatan va shu bilan birga larga nisbatan ham turg’un.
2–misol. Qo’zg’algan harakat tenglamasi quyidagi ko’rinishda bo’lgan sistemaning turg’unligini o’rganamiz:




Bu tenglamalarning o’ng tomoni matritsasi § 5.3 ning 2 – misolida o’rganilgan edi. Bu matritsaning xarakteristik tenglamasi ikkita nolga ega va ikkita ga teng ildizlari mavjudligi aniqlangan edi. Ikkala ildiz xarakteristik tenglamaga nisbatan ham elementar bo’luvchilarga nisbatan ham karrali. Nolga teng ildiz elementar bo’luvchiga nisbatan karrali bo’lgani sabab, qo’zg’almagan harakat ga nisbatan noturg’un.
Bu xulosani kengroq tushuntiramiz. Kanonik o’zgaruvchilarda qo’zg’algan harakat tenglamasi ikkita mustaqil guruhlardan iborat:

(birinchi guruh 1 – chi va 2 – chi tenglamalar, ikkinchi guruh 3 – chi va 4 – chi tenglamalardan iborat). Bu tenglamalarning umumiy yechimini yozamiz:

da bo’lgani sabab qo’zg’almagan harakat kanonik to’plamiga nisbatan noturg’un va tabiiyki larga nisbatan ham noturg’un.
3–misol. Rezonans turg’unligi. Garmonik qonunga nisbatan o’zgaruvchi qo’zg’alish ta’sir qiluvchi sodda chiziqli tebranma konturni qaraylik. Harakatning differensial tenglamasi quyidagi ko’rinishga ega:
(5.59)
Bu yerda x – kontur holatini aniqlovchi koordinata, – tebranishlar chastotasi, qo’zg’algan ta’sir chastotasi,

5.1-rasm
Elementar fizika kursidan ma’lumki, chastotalar ustma – ust tushsa, ( ) rezonans hosil bo’ladi, bunda majburiy tebranishlar quyidagi tenglik orqali aniqlanadi:
(5.60)
Bu harakatni qo’zg’almagan harakat deb olamiz. U holda qo’zg’aluvchi harakat tenglamasi (5.59) chiziqli tenglamaning bir jinsli qismini ifodalaydi:

Xarakteristik tenglamani tuzamiz:

Bu tenglamaning ildizlari mavhum va har xil bo’lgani sabab (5.60) rezonans turg’un, assimptotik noturg’un. Majburiy tebranishlar amplitudasi cheksiz o’suvchi jarayonning turg’unligi isbotlandi, boshqacha qilib aytganda 5.1-rasmda tasvirlangan harakat umumiy xarakterini katta bo’lmagan qo’zg’alish o’zgartirmaydi.