Мавзу : дифференциал тенгламалар

8-таъриф. кўринишдаги тенгламага ўзгарувчилари ажраладиган дифференциал тенглама дейилади. Бундай дифференциал тенгламани га бўлиб, га кўпайтириб ўзгарувчилари ажралган дифференциал тенгламага келтириш билан ечими топилади.
3-мисол. тенгламанинг умумий ечимини топинг.
Ечиш. Ўзграувчиларини ажратиб тенгламани ҳосил қиламиз. Охирги тенгламани бевосита интеграллаб, тенгликка эга бўламиз. Охирги тенгликдан
умумий ечимни ҳосил қиламиз.


4. Биринчи тартибли бир жинсли дифференциал тенгламалар. функция учун тенглик бажарилса, функцияга тартибли бир жинсли функция дейилади, бунда бирор сон. Масалан, функция учун бўлиб, функция тартибли бир жинсли функция бўлади. тартибли бир жинсли функциядир ( буни текшириб кўринг).
9-таъриф. диффересиал тенгламада функция нолинчи тартибли бир жинсли функция бўлса, бундай дифференциал тенгламага биринчи тартибли бир жинсли дифференциал тенглама дейилади. Бир жинсли, тенглама алмаштириш билан ўзгарувчилари ажраладиган
дифференциал тенгламага келтирилади.
4-мисол. дифференциал тенгламанинг умумий ечимини топинг.
Ечиш. алмаштириш олиб, эканлигини ҳисобга олсак, берилган тенгламадан бўлиб, ёки , бўлади. Охирги тенгламада ўзгарувчиларини ажрацак, бўлади. Охирги тенгликни интегралласак, бўлиб, бўлганлиги учун
умумий ечимни ҳосил қиламиз.
1. Фан ва техникада жуда куп масалалар учрайди, бу масалаларни ечиш номаълум функция хосиласи ёки (номаълум функция дифференциали ) катнашган тенгламани ечишга келтирилади.
Бирига мисол келтирайлик.
1) Электронтехникада ток кучи i, кучланиш v, занжир кар-шилиги R ва узиндукция коэффициенти L орасидаги богланиш куйидаги

куринишдаги дифференциал тенглама билан ифодаланади.
2) Астрономияда Кеплернинг “юзлар интеграли “ номи билан машхур булган биринчи конуни

куринишдаги дифференциал тенглама билан ифода килинади, бунда r ва Куёш атрофида айланувчи само жисмнинг кутб координаталари, t- вакт, с- узгармас микдордир.
Дифференциал тенгламаларга олиб келадиган биринчи содда масалаларни курайлик .
1) хОу координата текслигида шундай узлуксиз эгри чизик топингки, унинг хар бир (х,у) нуктасига утказилган уринманинг абсцисса укининг мусбат йуналиши билан хосил килган бурчакнинг тангенси, уриниш нуктаси абсциссасининг иккиланганига тенг булсин.
Фараз килайлик y=f(x) изланган эгри чизик булсин. Масаланинг шарти буйича y=f(x) эгри чизикнинг M(x,f(x)) нуктасига утказилган уринманинг бурчак коэффициенти f’(x) 2х га тенг. Масалани ечиш.
= 2х
куринишдаги содда тенгламани ечишга келтирилади.
Бу тенгламанинг ечими у=х²+с , с - ихтиёрий узгармас сон булади. Куйилган масала ечишнинг геометрик маъноси х0у координата текислигида пароболалар оиласидан иборат .
2) узгармас тезланиш билан харакат килаётган моддий нуктанинг харакат конуниятини топинг.
Маълумки , S йулдан t вакт буйича олинган иккинчи тартибли хосила тезланишни беради. Масаланинг шарти буйича
=а , а- узгармас сон .
Бу тенгламанинг ечими
S= +c₁t+c₂ , c₁ , c₂ лар ихтиёрий узгармас сонлар.
Шунга ухшаш дифференциал тенгламага олиб келадиган масалаларни куплаб келтириш мумкин.
Эркли узгарувчи х, номаълум функция у ва унинг у’,y”,...,y⁽ⁿ⁾ хосилалари орасидаги богланишни ифодалайдиган тенгламага дифференциал тенглама дейилади .
Дифференциал тенгламани символик равишда куйидагича ёзиш мумкин:
F(у’,y”,...y⁽ⁿ⁾) = 0 (1)
Тенгламада катнашган номаълум функция бир узгарувчили функция булса, бундай тенглама оддий дифференциал тенглама дейилади. Агар тенгламада катнашган номаълум функция бирнеча узгарувчининг функцияси булса, бундай тенглама хусусий хосилали дифференциал тенглама дейилади.
х = у (2)
= a² (3)
бу ерда u=u(x,y), куринишдаги тенгламалар хусусий хосилали дифференциал тенгламага мисол була олади. Бу курсда биз факат оддий дифференциал тенгламалар билан шугулланамиз.
Дифференциал тенгламанинг тартиби деб тенгламага кирган хосиланинг энг юкори тартибига айтилади .
Масалан, y’-2xy+3=0 тенглама биринчи тартибли дифференциал тенгламага, y”-xy’=0 эса иккинчи тартибли дифференциал тенгламага мисол булади.
Юкоридаги (1) тенглама эса n тартибли дифференциал тенгламадир.
Дифференциал тенглама ечими ёки интеграли деб дифференциал тенгламага куйганда уни айниятга айлантирадиган хар кандай у= (х) функцияга айтилади.
Масалан:
1) xy’-y-x² =0
тенгламанинг ечимлари у=х²+сх (с - ихтиёрий узгармас сон) куринишдаги функциялар булади. Ечимни тенгламага куйиб ишонч хосил килиш мумкин.
2) y”+y =0
тенгламанинг y=sin2x, y=cos2x, y=2sin2x-cos2x функциялар, умуман у=с₁ sin2x, у=с₂ cos2x, ёки
у=с₁ sin2x + с₂ cos2x
куринишдаги функциялар с₁ ,с₂ ихтиёрий узгармас микдорларнинг хар кандай кийматларида берилган дифференциал тенгламага курсатилган функцияларни куйиб ишонч хосил килиш мумкин.
2. Биринчи тартибли дифференциал тенгламалар.
Биринчи тартибли дифференциал тенгламанинг умумий кури-ниши
F (x, y, y’) = 0 (1)
куринишда булади. Агар (1) тенгламани y’ га нисбатан ечиш мумкин булса, уни
y’=f(x,y) (2)
куринишда ёзиш мумкин ва уни хосилага нисбатан ечилган биринчи тартибли дифференциал тенглама дейилади.
х=х₀ булганда у функция берилган у₀ сонга тенг булиши керак деган шарт бошлангич шарт дейилади. Бу шарт купинча
у |_x=x =y₀ (3)
куринишда ёзилади.
Биринчи тартибли y’=f(x’,y) дифференциал тенгламалар назариясининг асосий масалаларидан бири бошлангич шарт у|_x=x =y₀ ни каноатлантирувчи ечимни топишдан иборат. Бу масала Коши масаласи дейилади.
Биринчи тартибли дифференциал тенгламанинг умумий ечими деб битта ихтиёрий с узгармас микдорга боглик булган хамда куйидаги шартларни каноатлантирувчи
у= (х,с)
функцияга айтилади:
а) Бу функция дифференциал тенгламани с узгармас мик-дорнинг хар кандай конкрет кийматида хам каноатлантиради.
б) х=х₀ булганда у=у₀ яъни у |_x=x =y₀ бошлангич шарт хар кандай булганда хам с микдорнинг шундай с=с₀ кийматини топиш мумкинки, у= (х,с₀) функция берилган бошлангич шартни каноат-лантиради.
Биз дифференциал тенгламанинг умумий ечимини излашда купинча у га нисбатан ечилмаган
Ф(х, у, с) =0 (4)
куринишдаги муносабатга келиб колади. Бу муносабатни у га нисбатан ечсак, умумий ечимни хосил киламиз. Лекин (4) ни у га нисбатан ечиш хамма вакт хам мумкин булавермайди. Умумий ечимни ошкормас холда ифодаловчи Ф(х, у, с) =0 куринишдаги тенглик дифференциал тенгламанинг умумий интеграли дейилади.
Ихтиёрий с узгармас микдорга маълум с=с₀ киймат бериш натижасида у= (х,с) умумий ечимдан хосил буладиган у= (х,с₀) функция хусусий ечим дейилади. Бу холда Ф(х,у,с₀)=0 муносабат тенгламанинг хусусий интеграли дейилади.
Мисол. тенгламанинг у |_x=2=1 бошлангич шартни кано-атлантирувчи ечимни топинг.
Берилган тенгламанинг умумий ечими булади (текшириб курсат). Бошлангич шартларга асосан
, с=2
Бу холда хусусий ечимни хосил киламиз.
y’=f(x,y) тенгламанинг умумий ечими у= (х,с) х0у координата текислигида эгри чизиклар оиласини ифодалайди. Бу эгри чизиклар интеграл эгри чизиклар дейилади. Дифференциал тенглама ва унинг ечими содда геометрик маънога эга.
Фараз килайлик f(x,y) функция бирор D сохада аникланган булсин. M(x,y) D нуктадаги f(x,y) функциянинг киймати f(x,y)=k
М нуктадан утувчи эгри чизикка М нуктада утказилган уринманинг бурчак коэффициенти аниклайди.
y’=f(x,y)
дифференциал тенглама эса хОу текисликда йуналишлар майдонини аниклайди. y’=f(x,y) дифференциал тенглама учун =с (f(x,y)=с) муносабат бажариладиган нукталарнинг геометрик урни берилган дифференциал тенгламанинг изоклинаси дейилади.
тенгламанинг изоклинаси у=-сх булади.
3. y’=f(x,y) дифференциал тенглама ечимининг мавжудлиги ва ягоналиги хакидаги теорема.
Берилган тенгламанинг у|_x=x =y₀ бошлангич шартларни каноатлантирувчи ечим кайси вактда мавжуд ва ягона булади деган саволга жавоб берамиз.
Фараз килайлик f(x,y) функция ёпик тугри туртбурчак
D={(x.y) R² ; |x-x₀| a , |y-y₀| b}
сохада берилган булсин.
Агар шундай узгармас мусбат к сон мавжуд булсаки, f(x,y) функция х аргументнинг |x-x₀| a тенгсизликни каноатлантирувчи ихтиёрий кийматларида, у аргументнинг |y-y₀| b тенгсизликни каноатлантирувчи ихтиёрий ва кийматларида
| f(x, )-f(x, ) | k| - |
тенгсизлик уринли булса, f(x,y) функция иккинчи аргумент у буйича Липшиц шартини бажаради дейилади. Агар f(x,y) функция D сохада узлуксиз булса, у шу сохада чегараланган, яъни шундай узгармас М сон мавжудки, (x,y) D учун |f(x,y)| М булади.
Теорема. Агар y’=f(x,y) дифференциал тенгламада f(x,y) функция
D={(x.y) R² ; |x-x₀| a , |y-y₀| b}
сохада узлуксиз булиб, иккинчи аргументи буйича Липшиц шартини бажарса, у холда берилган дифференциал тенгламанинг [x₀-h,x₀+h] сегментда ( h=min(a; ) )
у |_x=x =y₀
бошлангич шартни каноатлантирувчи ечими мавжуд булиб, у ягона булади.