Мавзу : дифференциал тенгламалар

2. Биринчи тартибли тенгламалар. Биринчи тартибли тенглама умумий ҳолда
(1)
кўринишда ёзилади. (1) тенгламани га нисбатан ечсак (2)
бўлади. (2) тенгламанинг ўнг томони фақат нинг функцияси бўлса, тенглама (3)
кўринишида бўлиб, охирги тенгликдан бевосита кўриш мумкинки, бундай тенгламанинг ечимини топиш функциянинг бошланғич функциясини топишдан иборат бўлади, яъни . Шундай қилиб, (3) кўринишдаги биринчи тартибли дифференциал тенгламанинг ечими чексиз кўп ечимлар тўпламидан иборат бўлади.
4-таъриф. нинг функцияси ҳар бир ихтиёрий ўзгармас бўлганда (2) тенгламани қаноатлантирса, унинг умумий ечими дейилади.
5-таъриф. ихтиёрий ўзгармаснинг муайян қийматида умумий ечимдан олинадиган ечимга хусусий ечим дейилади.
Умумий ечимдан ягона ечимни олиш учун кўпинча қўшимча (4)
шартдан фойдаланилади, бу ерда лар берилган сонлар бўлиб, бу шартга бошланғич шарт деб аталади.
6-таъриф. дифференциал тенгламанинг (4) бошланғич шартни қаноатлантирувчи
ечимини топиш масаласига Коши масаласи дейилади.
1-мисол. дифференциал тенглама учун бўладиган бошланғич шартни қаноатлантирувчи Коши масаласини ечинг.
Ечиш. Олдин берилган дифференциал тенгламанинг умумий ечимини топамиз: . Энди бошланғич шартдан фойдаланиб, бундан келиб чиқади. Демак, Коши масаласининг ечими бўлади.


3. Ўзгарувчилари ажралган ва ажраладиган биринчи тартибли тенгламалар.
7-таъриф. кўринишдаги тенгламага ўзгарувчилари ажралган дифференциал тенглама дейилади.
Бундай дифференциал тенгламани бевосита, тенгликни интеграллаб унинг умумий ечими топилади, яъни бўлади.
2-мисол. дифференциал тенгламанинг умумий ечимини топинг.
Ечиш. Берилган тенгламани бевосита интеграллаб умумий ечим бўлади. Бунда .