Mavzu: Algebraik

Tenglamalarni yechishning iteratsiya usuli

Berilgan f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x=𝜓(x) ko‘rinishdagi

tenglamaga keltiramiz.

2. teorema. Aytaylik,

   1. 
      𝜓 (x) funksiya [a,b] oraliqda aniqlangan va differensiallanuvchi bo‘lsin;
      

   2. 𝜓 (x) funksiyaning hamma qiymatlari [a,b] oraliqqa tushsin; 3)[a,b] oraliqda  𝜓 (x)q <1 tengsizlik bajarilsin.

Bu holda [a,b] oraliqda x= 𝜓 (x) tenglamaning yagona x=t yechimi mavjud va bu yechim

^tn^{= 𝜓 (t}n-1^). formulalar bilan aniqlanadi

t₀ a;b

Berilgan f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x= 𝜓 (x) tenglama uchun yaqinlashish sharti bajarilganda yaqinlashish jarayonini quyidagi shakillar misolida ko‘rish mumkin.

Bu yerda a va b rasmlar yaqinlashuvchi, c rasm uzoqlashuvchi va t₀ qiymat [a,b] oraliqda yotuvchi ixtiyoriy son bo‘lib, yechimning 0-yaqinlashishi, t_i – n_i yechimning i – yaqinlashishi deb yuritiladi.

Bu teorema asosida tenglama ildizini quyidagicha aniqlaymiz.

1. 
   f(x)=0 tenglamaning yagona ildizi yotgan [a,b] kesmani biror (masalan, grafik) usul bilan aniqlaymiz.
   
2. 
   [a,b] da f(x) ning uzluksizligi va f(a)^.f(b)<0 shart bajarilishini tekshiramiz.
   

3. 
   Tenglamani
   

x  (x)
ko‘rinishga keltirib, 𝜓 (x)[a,b] ekanligini hamda [a;b]

^da  '(x)
mavjudligini tekshiramiz va
q  max
x  ^a;b^
 '(x)
ni topamiz.

_ _

4. 
   Agar q<1 bo‘lsa,
   

x_n  (x_n1)
ketma-ketlikning boshlang‘ich yaqinlashishi x₀

uchun [a;b] ning ixtiyoriy bitta nuqtasi olamiz.

5. 
   Ketma-ketlik hadlarini hisoblashni  x_n- x_n-1 < shart bajarilguncha davom ettiramiz.
   
6. 
   Ildizning taqribiy qiymati uchun x_n ni olamiz.
   

Misol.
Iteratsiya usuli bilan 5x³-20x+3=0 tenglamani [0,1] intervalda 10^-4 aniqlikda toping.

Tenglamani F(x)=0 ko’rinishdan 𝑥 = 𝜓(𝑥) tenglamaga bir necha xil ko’rinishga o’tkazib olamiz.

1) 𝑥 = 𝑥 + ⁽5𝑥³ − 20𝑥 + 3⁾ bunda 𝜓₁⁽𝑥⁾ = 5𝑥³ − 19𝑥 + 3

3
2) 𝑥 = √
20𝑥−3
5
bunda, 𝜓₂
⁽𝑥⁾




√
₌ ³ 20𝑥−3
5

_{3) 𝑥 =} 5𝑥³+3
20
bunda, 𝜓_3
(𝑥)=5𝑥³+3
20

𝜓(𝑥) funksiyalarning qaysi biri yaqinlashuvchi ekanligini aniqlab olamiz. Buning uchun,

^|ψ^′(x)^| < 1
shartni bajaruvchi ekanligini tekshiramiz.
[0,1] intervaldan olingan x₀ nuqtani olingan hosilaga qo’yamiz. Masalan, x₀=0.5;

1
𝜓^{′ (}𝑥⁾ = 15𝑥² − 19

−
2
𝜓^{′ (}𝑥⁾ = ⁴ (^{20𝑥 − 3}) 3 ;

² 3 5

^′ ( ) ^{3 2}
𝜓₃ 𝑥 = ₄ 𝑥
Iteratsion jarayon yaqinlashuvchanligini tekshiramiz
^|𝜓^{′ (}𝑥₀^)| > 1
{ ¹ – uzoqlashuvchi iteratsion jarayon

2
^|𝜓^{′ (}𝑥₀^)| > 1

3
^|𝜓^{′ (}𝑥₀^)| < 1 – yaqinlashuvchi iteratsion jarayon

Bundan ko’rishimiz mumkinki, faqat 𝜓₃⁽𝑥⁾ funksiya yaqinlashuvchi ekan.

1) 𝑥_1
=5𝑥₀³+3
20
ni hisoblaymiz va ^|𝑥₁
− 𝑥₀
^| < 𝜀 shartni tekshiramiz. 𝜀 = 0.0001.

2) 𝑥_2
=5𝑥₁³+3
20
^|𝑥₂
− 𝑥₁
^| < 𝜀

Bu jarayonni ^|𝑥₁ − 𝑥₀^| < 𝜀 shart bajarilguncha davom ettiramiz.

2. Vatarlar usuli

Vatarlar usuli [a, b] kesmaga to’g’ri keluvchi f(x) egri chiziq yoyini tutashtiruvchi vatar OX o’qini shu kesma ichida kesib o’tishiga asoslangan. Vatarning OX o’qi bilan kesishgan nuqtasi ildizga yaqinroq (1-rasmda x₁ va  ga mos nuqtalar). Agar ildiz yotgan kesma sifatida [a, x₁] yoki [x₁, b] olinsa, avvalgi [a, b] kesmaga nisbatan kichikroq kesma hosil bo’ladi. Yangi kesmada mos f(x) yoyiga yana vatar o’tkazib, ilgarigidan ko’ra torroq oraliqni aniqlash mumkin va hokazo. Bu jarayonni davom ettirib, ildiz yotgan oraliqni istalgancha kichraytirish mumkin bo’ladi.
Tenglamaning [a, b] ajratilgan ildizini  aniqlikda hisoblash uchun x₀ boshlang’ich yaqinlashish tanlab olinadi. Bu 1-rasmda ko’rsatilgandek f(x) funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarning ishoralariga bog’liq. Agar y'<0 ba y''<0 (1 a-rasm) yoki y'>0 va y''<0 (1 d-rasm) bo’lsa x₀=b, qolgan hollarda x₀=a qilib olish kerak (1-b va 1-c rasmlar).



a)

b)


c) d)
1-rasm.

Birinchi x =a bo’lgan holda x=b qo’zg’almas nuqta bo’ladi va

0

ildizga keyingi yaqinlashishlar

^𝑥𝑛+1
= 𝑥_𝑛
− 𝑓(𝑥_𝑛)(𝑏−𝑥_𝑛)
𝑓⁽𝑏⁾−𝑓(𝑎)
(3)

formula bilan hisoblanadi. Bu yerda n=0, 1, 2, … yaqinlashish tartibi, x -n – tartibli yaqinlashish.

n
Ikkinchi, x₀=b bo’lgan holda x=a qo’zg’almas nuqta bo’ladi. Keyingi yaqinlashishlar

^𝑥𝑛+1
= 𝑥_𝑛
− 𝑓(𝑎)(𝑥_𝑛−𝑎)
𝑓⁽𝑥_𝑛⁾−𝑓(𝑎)
(4)

formula bilan hisoblanadi.
Yaqinlashish jarayoni |x_n-x_n-1|≤ shart bajarilguncha davom etadi.

Bunda 𝑥₀=b

Urinmalar (Nyuton) usuli

Bu usul qo’llanilganda tenglamaning ajralgan [a,b] ildiziga boshlang’ich yaqinlashish x₀ tanlab olinadi va ketma-ket yaqinlashishlar
𝑓⁽𝑥_𝑛⁾

𝑛
𝑥_𝑛+1 = 𝑥_𝑛 − _{𝑓′(𝑥 )} , 𝑛 = 0, 1, 2, …
formula bilan hisoblanadi. Bu yerda n yaqinlashishlar tartib soni, x_n – ildizga n – yaqinlashish.
Boshlang’ich, ya’ni nolinchi yaqinlashish f(a) f^’"(a)>0 shartni bajaradigan qilib olinadi. Agar shart bajarilsa x₀=a, aksincha x₀=b qilib olinadi.
Urinmalar usuli bilan tenglama ildizlarini aniqlash ikki bosqichda amalga oshiriladi. Birinchi bosqichda x₀ tanlab olinadi. Buning uchun f(x) funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi topiladi va uning x=a nuqtadagi qiymati hisoblanadi hamda yuqoridagi shartga asosan x₀ tanlab olinadi.

Ikkinchi bosqichda f(x), f^(x) qiymatlarini hisoblash uchun funksiyalar tuziladi, x₀, 
qiymatlari EHMga kiritiladi va dastur yordamida hisoblashlar bajariladi.