Mavzu: Aniq integral, uning geometrik manosi tarifi xossalari. Nyuton-Leybnis formulasi

1.1 – misol.   funksiya ixtiyoriy   kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi ekanligini ko’rsating.

Yechilishi.   kesmaning   bo’linishini olamiz. Natijada   kesma   bo’laklarga bo’linadi va   deb belgilaymiz.   bo’linishga mos kelgan integral yig’indini tuzamiz:




ko’rinishda bo’ladi. Bundan
Demak,   funksiya ixtiyoriy   kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi ekan.
Aniq integralning ta’rifidan, har qanday Riman ma’nosida integrallanuvchi funksiya chegaralangan bo’lishiga ishonch hosil qilish qiyin emas, lekin har qanday chegaralangan funksiya har doim ham integrallanuvchi bo’lavermaydi.


1.2 – misol. Ushbu


Dirixle funksiyasi   kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi emasligini ko’rsating.
Yechilishi.   kesmaning   bo’linishini olib, quyidagi


yig’indilarni tuzamiz.   nuqta sifatida   kesmadagi ixtiyoriy rasional nuqtani,   sifatida esa  , shu kesmadagi ixtiyoriy irrasional nuqtani olamiz. U holda,  bo’ladi. Shuning uchun,



Demak,   uchun Dirixle funksiyasining integral yig’indisi, 1.2 – ta’rifga binoan, limitga ega emas. Shuning uchun, Dirixle funksiyasi   kesmada integrallanuvchi emas.


1.3 – misol. Ushbu


funksiyaning   kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi emasligini ko’rsating.
Yechilishi.   kesmaning ixtiyoriy bo’linishi bo’lsin. Unda   kesma   kesmalarga bo’linadi.   nuqta sifatida,   kesmadagi ixtiyoriy rasional nuqtani,   sifatida esa, shu kesmadagi ixtiyoriy irrasional nuqtani olamiz. U holda,


yig’indilarni tuzamiz. Bunda   yig’indi   funksiya uchun integral yig’indi bo’ladi va u 1.1-misolga asosan,



bo’ladi.   yig’indi esa,   funksiya uchun integral yig’indi bo’lib,



bo’ladi. Shunday qilib, berilgan integral yig’indi yagona limitga ega emas.
Demak, berilgan funksiya   kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi emas.