Mavzu; arifmetik vekter fazo va unga misolar reja

Chiziqli fazo

Toʻplam elementlari orasida ularni qoʻshish va songa koʻpaytirish amallarini

kiritish mumkin va toʻplamlar turli tabiatli boʻlishiga qaramasdan ular ustida
kiritilgan qoʻshish va songa koʻpaytirish amallari juda koʻp umumiy xossalarga
ega boʻladi. Biz quyida toʻplam elementlarining tabiatini hisobga olmasdan bu
toʻplamlar uchun umumiy boʻlgan nazariya bilan tanishamiz.
2.1- ta’rif. Agar elementlari ixtiyoriy tabiatli boʻlgan L toʻplam berilgan va
bu toplam elementlari orasida qoʻshish va songa koʻpaytirish amallari kiritilgan,
yaʻni
1) ixtiyoriyx L vay L elementlar juftigax vay elementlarning
yigʻindisi, deb ataluvchi yagonaz x y L   element mos qoʻyilgan;
2)x L element vaK
  (K -haqiqiy yoki kompleks sonlar toʻplami) songax
vektorning songa koʻpaytmasi deb ataluvchi yagonaz x L
  element mos
qoʻyilgan boʻlib, aniqlangan bu qoʻshish va songa koʻpaytirish amallari quyidаgi 8
ta aksiomani bajarsa, u holdaL toʻplаm chiziqli (yoki vektor) fazo dеyilаdi:
1. Qoʻshish kommutativ,x y y x   ;
2. Qoʻshish assotsiativ,( ) ( )x y z x y x     ;
3. L toʻplаmda barchax elementlar uchunx x
  shartni
qanoatlantiradigan nol element mavjud;
22
4. L toʻplаmda har qandayx element uchun( )x x
   shartni
qanoatlantiradiganx qarama-qarshi element mavjud;
5. x y x y

    ;
6.  x x x
      ;
7.   x x
   ;
8.1 x x  .
Bundan keyin biz chiziqli fazo elementlarini vektorlar deb aytamiz. Аgаr
chiziqli fаzodаgi vеktorlаr uchun fаqаt hаqiqiy songа koʻpаytirish аmаli
аniqlаngаn boʻlsа, u holdа bundаy fаzo hаqiqiy chiziqli fаzo dеyilаdi. Аgаr chiziqli
fаzodаgi vеktorlаr uchun komplеks songа koʻpаytirish аmаli аniqlаngаn boʻlsа, u
holdа bundаy fаzogа komplеks chiziqli fаzo dеyilаdi.
Chiziqli fаzoni аniqlovchi аksiomаlаrdаn, quyidаgi хossаlаrni аjrаtish
mumkin:
1- xossa. Hаr qаndаy chiziqli fаzo uchun yagonа -nol vеktor mаvjud.
2- xossa. Hаr qаndаy chiziqli fаzodа hаr birx vеktor uchun ungа qаrаmа-
qаrshi boʻlgаn yagonа x vеktor mаvjud.
3- xossa. Hаr qаndаy chiziqli fаzodа hаr birx vеktor uchun0
 x tеnglik
oʻrinli.
4- xossa. Hаr qаndаy haqiqiy sonva  L element uchun   
munosabat hamma vaqt bajariladi.
5-xossa.0
 

    a yoki yoki a
Izoh.y x vеktorlаr аyirmаsi dеb,y vаx vеktorlаr yigʻindisi
tushunilаdi.

2.2- ta’rif.L chiziqli fazodan olingan1 2 nx ,x ,...,x elementlar vai R

  ,
(1i ...n ) sonlar yordamida qurilgan1 1 2 2 3 3 n nx x x ... x
  
    ifodaga1 2 nx ,x ,...,x
- elementlarning chiziqli kombinatsiyasi deyiladi.
2.3- ta’rif. Agar1 1 2 2 n ny x x x
 
     tenglik oʻrinli boʻlsa, u holday
element1 2, ,..., nx x x elementlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat deyiladi.
2.4- ta’rif. Agar1 2, ,..., n
   koeffitsiyentlardan hech boʻlmaganda bittasi
noldan farqli boʻlganda1 1 2 2 n nx x x
 
        tenglik oʻrinli boʻlsa, u holda1 2 nx ,x ,...,x
elementlar chiziqli bogʻliq deyiladi.
Agar1 1 2 2 n nx x x
 
        tenglik1 2, ,..., n
   koeffitsiyentlardan
barchasi nolga teng boʻlgandagina oʻrinli boʻlsa, u holda1 2 nx ,x ,...,x - elementlar
chiziqli erkli , aks holda1 2 nx ,x ,...,x - elementlar chiziqli bogliqli deyiladi . Bu
yerda, -chiziqli fazoning nol elementi.
2.5- ta’rif. AgarL chiziqli fаzodan ta chiziqli erkli elementlar mavjud
boʻlib, har qanday1n  ta element chiziqli bogʻliqli boʻlsa, u holdaL chiziqli
fаzoning oʻlchovin ga teng deyiladi.
2.6- ta’rif.n oʻlchovliL chiziqli fаzoda har qandayn ta chiziqli erkli
vektorlar sistemasi bu fazoning bazisi deyiladi.
Odatda bazis vektorlar sistemasi1 2, ,..., ne e e kabi belgilanadi.Masalan, darajasin
dan oshmaydigan barcha koʻphadlar toʻplami chekli oʻlchovli, yaʻni (1n  )
oʻlchovli chiziqli fazo tashkil qiladi. Bu fazoning bazisini 2
1 n
, t, t ,...,t
vektorlar sistemasi tashkil qiladi.

Teorema.n oʻlchovliL chiziqli fаzoning har bir elementi bazis

vektorlarining chiziqli kombinatsiyasi koʻrinishida bir qiymatli yoziladi.
Isbot. Faraz qilaylik 1 2, ,..., ne e e -elementlar sistemasiL fazoning bazisi
vax L ixtiyoriy element boʻlsin. U holda 1 2, ,..., ,ne e e x elementlar sistemasiL
fazoda chiziqli bogʻliq boʻladi. U holda barchasi bir vaqtda nolga teng
boʻlmagan 1 2, ,..., ,n
    sonlar ketma-ketligi mavjudki,1 1 2 2 n nx x x x
 
         
(1)
tenglik oʻrinli boʻladi. Bu yerda0
  boʻladi, aks holda1 1 2 2 n nx x x
 
       
tenglikda 1 2, ,..., n
   sonlarning hech
boʻlmaganda bittasi noldan farqli boʻlishi kerak, ammo bu 1 2, ,..., ne e e
elementlar sistemasining bazisligiga ziddir. Chunki1 1 2 2 1 0n n ne e e ...
 
             
. (1)
26
tenglikdan quyidagiga ega boʻlamiz:1 2
1 2 ... n
nx e e e

 
 

    
, yoki( 1,2,..., )i
i i n

 
   belgilashdan,1 1 2 2 ... n nx e e e
 
   
(2)
yaʻniL fazoning ixtiyoriy elementi bazis elementlarining kombinatsiyasi,
koʻrinishida ifodalanadi.
Endi (2) yoyilma bir qiymatli yoʻzilishini isbotlaymiz. Faraz qilaylik bux
elementni boshqa koʻrinishda ham ifodalash mumkin boʻlsin:1 1 2 2 ... n nx e e e
 
   
(3)
(2) va (3) ifodalarni hadma-had ayirib quyidagini hosil qilamiz1 1 1 2 2 2( ) ( ) ... ( )n n ne e e
   
        
. Bu tenglikdan va 1 2, ,..., ne e e
elementlar sistemasining bazisligidan1 1 2 2 ... 0n n
            yani1 1 2 2, ,..., n n
       
. Demak (2) yoʻyilma yagona boʻladi.
n o’lchovli vektorlar va ular ustida arifmetik amallar Chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy nazariyasini qurish uchun Kramer qoidasi tatbiq etilishi mumkin bo’lgan sistemalarni yechishda muvaffaqiyagt bilan xizmat qilgan apparat endi yetarli emas. Determinantlar va matrisalardan tashqari o’zicha ham katta umummatematik ahamiyatga ega bo’lgan yangi bir tushunchpnn, ya’ni k o ’ p o ’ l c h o v l i v e k t o r fazo tushunchasini kiritishimiz kerak bo’ladi.Dastlab bir nechta boshlang’ich izohlar berib o’tamiz: Analitik geometriya kursidan ma’lumki, tekislikning har qanday nuqtasi o’zining ikkita koordinatasi (berilgan koordinata o’qlaridagi) bilan, ya’ni ikkita haqiqiy sonnpng tartib langan sistemasi bilan aniklanadi; tekislikdagi har qanday vektor o’zining ikkita komponent bilan, ya’ni yana ikkita haqiqiy sonning tartiblangan sistemtsi bilan aniklanadi. Shunga o’xshash uch o’lchovli fazoning har qanday nuqtasi o’zining uchta koordinatasi bilan, fazodagi har qanday vektor o’zining uchta komponent bilan aniklanadi.Geomegrnyada, shuningdek, mexanikada va fizikada ko’pincha shundayn o’lchovli vektorlar va ular ustida arifmetik amallar Chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy nazariyasini qurish uchun Kramer qoidasi tatbiq etilishi mumkin bo’lgan sistemalarni yechishda muvaffaqiyagbilan xizmat qilgan apparat endi yetarli emas. Determinantlar va matrisalardantashqari o’zicha ham katta umummatematik ahamiyatga ega bo’lgan yangi birtushunchpnn, ya’ni k o ’ p o ’ l c h o v l i v e k t o r fazo tushunchasini kiritishimizkerak bo’ladi.Dastlab bir nechta boshlang’ich izohlar berib o’tamiz: Analitik geometriyakursidan ma’lumki, tekislikning har qanday nuqtasi o’zining ikkita koordinatasi(berilgan koordinata o’qlaridagi) bilan, ya’ni ikkita haqiqiy sonnpng tartib langansistemasi bilan aniklanadi; tekislikdagi har qanday vektor o’zining ikkitakomponent bilan, ya’ni yana ikkita haqiqiy sonning tartiblangan sistemtsi bilananiklanadi. Shunga o’xshash uch o’lchovli fazoning har qanday nuqtasi o’zininguchta koordinatasi bilan, fazodagi har qanday vektor o’zining uchta komponentbilan aniklanadi.
n ta soniing tartiblangan ushbu   a1,a2 ,...,an  sistemasi n o’lchovli vektor deyiladi. ai i 1,...,n sonlar   a1,a2 ,...,an  vektorning komponent lari deyiladi. Agar   a1,a2 ,...,an  va   b1,b2 ,...,bn  vektorlarning bir xil o’rinda turgan komponentlari ustma- ust tushsa, ya’ni agar ai  bi i 1,...,n bo’lsa, bu vektorlar teng deb hisoblanadi. Vektorlarni belgilash uchun bundan buyon grek alfavitining kichik harflari ishlatiladi, latin alfavitinnng kichik harflari esa sonlarni belgilash uchun nshlatiladi.
foydalanilgan Adabiyotlar
1. Gilbert Strang “Introduction to Linear Algebra”, USA, Cambridge press,5nd Edition, 2016.
2. Grewal B.S. “Higher Engineering Mathematics”, Delhi, Khanna publishers, 42ndEdition, 2012
.3. Raxmatov R.R., Adizov A.A., Tadjibayeva Sh.E., Shoimardonov S.K. Chiziqli algebra va analitik geometriya. O‘quv qollanma. Toshkent 2020.
4. Rаxмаtоv R.R., Adizov A.A. “Chiziqli fazo va chiziqli operatorlar” O‘quv uslubiy qollanma. TATU, Toshkent 2019.
5. Соатов Ё.У. “Олий математика”, Т., Ўқитувчи нашриёти, 1- 5 қисмлар, 1995.