Mavzu. Aylanma sirtlar Ellipsoidlar

Mavzu. Aylanma sirtlar Ellipsoidlar
Режа:
1.Ellipsoid.
2.Ellipsoidning kanonik tenglamalari.

Fazoda dekart koordinatalari sistemasi kiritilgan bo’lib,unda ikkinchi darajali ko’phad yordamida berilgan

(1)
tenglamani qaraylik.Fazoda koordinatalari (1) tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to’plami ikkinchi tartibli sirt deb ataladi.
Ta’rif-1.Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini birorta dekart koordinatalari sistemasida
(2)
ko’rinishda yozish mumkin bo’lsa , u ellipsoid deb ataladi.Bu tenglamada munosabat bajarilishi talab qilinadi.
Ellipsoid tenglamasidan ko’rinib turibdiki, u koordinata o’qlariga nisbatan
simmetrik joylashgan,koordinata boshi esa uning simmetriya markazidir.
Ellipsoidning shaklini chizish uchun uning koordinata tekisliklariga parallel tekisliklar bilan kesimini qaraymiz.Masalan,uni tenglama bilan aniqlangan tekislik bilan kessak, bo’lganda kesimda

tenglama bilan aniqlanuvchi ellips hosil bo’ladi.Bu tenglamani

ko’rinishda yozish mumkin.
Xuddi shunday,ellipsoidni , tekisliklariga parallel tekisliklar bilan bilan kessak, kesimda ellipslar hosil bo’ladi. Yuqoridagilarni hisobga olib,ellipsoidni chizmada tasvirlashimiz mumkin.
Test savollari
1. Quyidagi tenglamalardan qaysi biri ellipsoidni aniqlaydi?

2. Quyidagi tenglamalardan qaysi biri konusni aniqlaydi?

3. tenglama bilan berilgan sirt qanday nomlanadi ?
Elliptikssilindr
elliptik paraboloid
Giperbolikssilindr
Parabolikssilindr


Chizma-1

Mavzu: Giperboloidlar.

Reja:
Bir pallali giperboloid.
Ikki pallali giperboloid.
Ta’rif-2. Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini birorta dekart koordinatalari sistemasida
(3)
ko’rinishda yozish mumkin bo’lsa , u ikki pallali giperboloid deb ataladi.Bu tenglamada , munosabatlar bajarilishi talab qilinadi.
Ikki pallali giperboloid tenglamasidan ko’rish mumkinki,uchinchi o’zgaruvchi va tengsizliklarni qakoatlantirishi kerak. Demak
ikki pallali giperboloid ikki qismdan iborat va uning nomi shakliga mosdir.Agar ikki pallali giperboloidni tenglama bilan aniqlangan tekislik bilan kessak, bo’lganda kesimda

tenglama bilan aniqlanuvchi ellips hosil bo’ladi.Bu ellipsning yarim o’qlari mos ravishda
,
kattaliklarga tengdir.
Agar ikki pallali giperboloidni tenglama bilan aniqlangan tekislik bilan kessak, har qanday uchun kesimda

tenglama bilan aniqlanuvchi giperbola hosil bo’ladi.Bu giperbolaning

yarim o’qlari mos ravishda

,
kattaliklarga tengdir.
Xuddi shunday ikki pallali giperboloidni tenglama bilan aniqlangan tekislik bilan kessak, har qanday uchun kesimda

tenglama bilan aniqlanuvchi giperbola hosil bo’ladi. Bu giperbolaning
yarim o’qlari mos ravishda
,
kattaliklarga tengdir.

Ta’rif-3.Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini birorta dekart koordinatalari sistemasida
(4)

ko’rinishda yozish mumkin bo’lsa , u bir pallali giperboloid deb ataladi.Bu tenglamada , munosabatlar bajarilishi talab qilinadi.

Bir pallali giperboloidning tenglamasidan ko’rish mumkinki, u koordinata tekisliklariga nisbatan simmetrik joylashgan,koordinata boshi esa uning simmetriya markazi bo’ladi. Bir pallali giperboloidni tenglama bilan aniqlangan tekislik bilan kessak, har qanday uchun kesimda

tenglama bilan aniqlanuvchi ellips hosil bo’ladi.Bu ellipsning
yarim o’qlari mos ravishda
,
kattaliklarga tengdir.Agar bo’lsa,kesimda eng kichkina ellips hosil bo’ladi.Bu ellips bir pallali giperboloidning bo’g’zi deb ataladi.
Bir pallali giperboloidni , tenglama bilan aniqlangan tekisliklar bilan kessak, mos ravishda va bo’lganda kesimda

tenglamalar bilan aniqlanuvchi giperbolalar hosil bo’ladi.Bu giperbolalardan birinchisining yarim o’qlari mos ravishda
,
kattaliklarga tengdir. Agar yoki bo’lsa,kesimda mos ravishda
va
tenglamalar bilan aniqlanuvchi ikkita kesishuvchi to’g’ri chiziqlar hosil bo’ladi.Bu faktlarni hisobga olib bir pallali giperboloidni chizmada tasvirlashimiz mumkin

Ta’rif-4. Sirtning xar bir nuqtasidan shu sirtda yotuvchi to’g’ri chiziq o’tsa, bunday sirt chiziqli sirt deyiladi.

Sirt chegaralagan bo’lsa,unda to’g’ri chiziq yotmaydi va shuning uchun u chiziqli sirt bo’lmaydi.Demak ellipsoid chiziqli sirt bo’lmaydi.
Teorema-1. Bir pallali giperboloid chiziqli sirt bo’lib, uning har bir nuqtasidan giperboloidda yotuvchi ikkita to’g’ri chiziq o’tadi.
Isbot. Bir pallali giperboloidning nuqtasidan yo’nalishdagi to’g’ri chiziqning parametrik tenglamalari
(5)
ko’rinishda bo’ladi.Bu to’g’ri chiziqbir pallali giperboloidda yotishi uchun

tenglik ning har qiymatida bajarilishi kerak.Bu tenglikda

munosabatni hisobga olsak
va
tengliklarni hosil qilamiz. Yo’nalishni aniqlovchi vektorning hamma koordinatalari nolga teng bo’lmaganlini uchun yuqordagi tenglikning birinchisidan ekanligi kelib chiqadi.Biz umumiylikni chegaralamasdan deb olamiz.Bundan esa lar uchun
,
shartlarni olamiz.Agar biz
, (6)
tengliklar bilan nuqtani aniqlasak
(7)
tenglikni olamiz. Bundan tashqari

tenglikdan

(8)
munosabat kelib chiqadi.Demak nuqta giperboloidning bo’g’ziga tegishlidir.Yuqoridagi (6) tenglikdan

munosabat kelib chiqadi.Biz agar
,

tengliklar bilan vektorning koordinatalarini aniqlasak,

munosabatni hisobga olib (8)tenglikdan qiymatlarni topamiz.Demak biz qidirayotgan to’g’ri chiziqlarning parametrik tenglamalari



ko’rinishda bo’ladi.Bu to’g’ri chiziqlar bo’lganda nuqtadan
o’tadi.Haqiqatan ham (6) tengliklardan

munosabatlarni hosil qilish mumkin.Teorema isbotlandi.

Test savollari
1. Quyidagi tenglamalardan qaysi biri bir pallali giperboloidni aniqlaydi?




2. Quyidagi tenglamalardan qaysi biri ikki pallali giperboloidni aniqlaydi?




3. Quyidagi tenglamalardan qaysi biri konusni aniqlaydi?




4. tenglama bilan berilgan sirt qanday nomlanadi ?
Elliptikssilindr
elliptik paraboloid
Giperbolikssilindr
Parabolikssilindr
5. tenglama bilan berilgan sirt qanday nomlanadi ?
Giperbolikssilindr
elliptik paraboloid
Elliptikssilindr
Parabolikssilindr