Mavzu: Chats yechimini topishning iteratsion usullari. Reja

Mavzu: Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi yechimini topishning Zeydel usuli.

Reja:
1.Yakobi va Zeydel iteratsion metodlari.
2. Yakobi va Zeydel metodlarining kanonik ko’rinishi.
3.Iteratsion metodlarning yaqinlashishi Yakobi vaZeydel iteratsion metodlari . (1)
algebraik tenglamalar sistemasini echish talab qilingan bo’lsin,bunda _{ }] , _{ } kvadrat matrisa hamda A teskari matrisa mavjud deb hisoblaymiz , _{   }.
Dastlab sistima (1)ni

ko’rinishda yozib olamiz .Kelgusida biz harif yuqorisida yozilgan belgi (indiks)ni iteratsiya tartibini ko’rsatadi deb hisoblaymiz masalani , _{ }da _{ } belgilash x vektor k- iteratsiyasining i- konnonentasini belgilaydi .Bu holda Yakobi iterasiya metodi

_{   }berilgan . Iterasiyalarning tugallanishi iterasiyalarning maksimal soni _{ }ga erishishi yoki quyidagi shartning bajarlishi bilan aniqlanadi _{ }
bu erda _{ } berilgan aniqlik. Zeydel iteratsion metodi quyidagicha aniqlanadi

_{ } .
Sistema (1) dagi A matritsani
_{ } (5)
ko’rinishda ifodalagan edik. Bu ifodalashda tenglama (2) ni ushbu ko’rinishda yozish

bu holda Yakobi metodining matritsaviy yozilishi

yoki
_{ } (6)
ko’rinishda bo’ladi.
Zeydel metodi esa matritsaviy ko’rinishda

yoki
_{ } (7)
yoziladi. Munosabat (5) ni e’tiborga olgan holda matrisaviy ko’rinish (6) va (7) ni mos ravishda quyidagicha yozish mumkin.
_{ } (8)
_{ } (9)
bu formulalardan ko’rinadiki , agar iteratsion metod yaqinlashsa , ya’ni _{ } ga _{ }
bo’lsa , u holda u albatta _{ } sistemaning yechimiga yaqinlashadi. Ko’pgina hollarda iteratsiyalarning yaqinlashish tezligini oshirish maqsadida iteratsion metodlarga sonli parametrlar kiritiladi. Masalan, iteratsion metodlarga _{ } parametrni quyidagicha kiritish mumkin:


Iteratsiya metodlari nazariyasida quyidagi ikkita masala paydo bo’ladi: a) _{ } parametrlarning qanday qiymatlarida metod yaqinlashadi? b) _{ } parametrning qanday qiymatlarida yaqinlashish tezligi eng yaxshi bo’ladi?
Yakobi va Zeydel metodlarining kanonik ko’rinishi. Bu metodlar bir qadamli metodlarga mansub, ularda har bir keyingi yaqinlashishni topishda o’zidan oldingi iteratsiyadagi yaqinlashishdan foydalaniladi. Ko’p qadamli iteratsion metodlarda yangi iteratsiyadagi yaqinlashishni topishda o’zidan oldingi bir nechta iteasiyadagi qiymatlardan foydalaniladi.Bir qadamli iterasion metodlar kanonik ko’rinishda quyudagicha yoziladi.
_{ } (10)
Bu tenglamadan _{ } ni aniqlash mumkin

bu yerda _{ }
Iterasiya metodi (10) da _{ } va _{ } bo’lsa, bu metod oshkor metod yoki oddiy iterasiya metodi deyiladi.
_{ } (11)
O’zgaruvchan parametrli oshkor metod Richarson metodi deb aytiladi. Zeydel metodining umumlashtirilgan ko’rinishi
_{ } (12)
yuqori relaksasiya metodi deyiladi bu yerda _{ } berilgan sonni parametri. Ushbu metod A- simmetrik va musbat aniqlangan hamda 0<_{ }<2 bo’lganda yaqinlashadi.Iteratsiyon metod statsional metod deyiladi, agarda

bo’lsa, yani ular iteratsiya tartibi nomeriga bog’liq bo’lmasa, aks holda nostatsionar iteratsiya metodi deyiladi. Iteratsiyon metodlarining yaqinlashishi
_{ } (13)
sestemani va bir qadamli statsionar iteratsiya metodini qaraymiz
_{ } (14)
k – iteratsiya xatoligi _{ } vektor uchun (13), (14) ga asosan
_{ } (15)
bir jinsli sestemaga kelamiz.
Teorema. A – simmetrik musbat aniqlangan matritsa _{ } tengsizlik bajarilsa u holda iterasion metod (14) yaqinlashadi.
Isbot. Quyidagi normani x vektorning o’rta kvadratik normasi deb qabul qilamiz

hamda H- Ebkilit fazosi va unda

skalyar ko’paytma kiritilgan deb hisoblaymiz. Teoremani isbotlash uchun sistema (15) ning echimi _{ } ning _{ } dagi o’rta kvadratik normasining ixtiyoriy _{ } uchun nolga intilishni ko’rsatishimiz lozim .Dastlab _{ }
shart bajarilganda _{ } ko’paytmaning o’smasligini ko’rsatamiz .Tenglama (15) dan

ekanlidini ,yoki
_{ }
ligini ko’rishimiz mumkin ,bundan esa
_{ }
ekanligi kelib chiqadi. A simmetrik matrisa bo’lganligi uchun

bo’ladi ,shu sababli


tenglik o’rinli bo’ladi .Shart (16) da asosan

Shu sababli

bo’lish kelib chiqadi . Shunday qilib _{ } ketma-ketlik monoton o’smaydigan va quyidan nol bilan chegaralangan ketma –ketlik ekan.Bundan

ekanligi kelib chiqadi. Eslatma. 1) simmetrik C>0 matritsaning xos qiymatlari musbat;
2) _{ } ekanligidan teskari matretsa _{ } ning mavjudligi kelib chiqadi. Bundan tashqari _{ } musbat bo’lganligi uchun _{ } o’zgarmas mavjudki

bo’ladi. Bundan va (17) dan

Bu tengsizlikdan limitga o’tib , formula (18) ni hisobga olsak

bo’lishini ko’ramiz , bu yerda _{ } . Nihoyat _{ } ekanligini e’tiborga olib _{ } ekanligini aniqlaymiz va A, B matritsalarning teskarisi mavjudligini ko’ramiz. Bulardan

va

bo’lishi kelib chiqadi, bu esa iterasiya metodining yaqinlashishini ko’rsatadi.
Teorima isbot bo’ldi.