Mavzu:” Chiziqli fаzо elеmеntini bаzis bo‘yichа yoyish.”

6-misol. V to’plamda berilgan qoida bo’yicha fazodagi chiziqli qism fazo tashkil etadimi

Yechish.

To’plamning ixtiyoriy elementini olaylik. U holda ning shartlari bajarilayapti
Bundan fazoning chiziqli qism fazosi hisoblanadi


to’plamdan ixtiyoriy elementlarni olsak
U holda
ya’ni ning uchinchi koordinatasi to’plam uchun qoida bajarilmayapti, ya’ni .Bundan to’plam fazoda chiziqli qism fazo tashkil etmaydi.
**** * * * * *
7-misol. darajasi ikkidan oshmagan ko’phadlar to’plami berilgan bo’lsin. Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi fazodagi chiziqli qism fazo ekanligini isbotlang. Uning bazis va o’chovini toping. Qism fazo bazisini uning to’liq fazo tashkil etguncha to’ldiring.
Yechish. fazodagi istalgan ko’phadning umumiy ko’rinishi Uning hosilalari . U holda fazoga tegishlilik sharti quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi . Bu yerdan, u holda fazodagi ko’phadning umumiy ko’rinishi: fazoda chiziqli qism fazo ekanligini kursatamiz.Buning uchun shartlariga e’tibor qaratamiz.
Shartlari

Bu shartlarni tekshiradigan bo’lsak,
fazodan ikkita element U holda ularning yig’indisi bu ham fazoga tegishli. Shu singari ikkinchi sharti
bu ham to’plamga tegishli.
fazoning bazis va o’lchovini topamiz. Shu fazodan olingan ixtiyoriy elementni qaraylik . U ikkita ko’phadning chiziqli kombinasiyasi ko’rinishida yozish mumkin . Bu ko’phadlar chiziqli erkli ekanligini ko’rsatamiz. fazoda standart bazis fazosida ularning koordinatalaridan tashkil topgan vektorni tuzamiz. Ya’ni vektorlarga ega bo’lamiz. Bu vektorlar chiziqli erkli, ya’ni ularning koordinatalari proporsional emas. Shundan ko’phadlar fazoning bazisini tashkil etadi, ularning o’lchovi esa ikkiga teng.
Qism fazo bazisini to’liq fazo bazisiga to’ldiramiz.Buning uchun masalan,uchinchi bazis elementlari sifatida ni olishimiz mumkin. Yuqoridagidek tekshiradigan bo’lsak, hosil qilingan ko’phad chiziqli erkli, ya’n fazoda bazis tashkil etadi.
* * * * **
10- ta’rif. chiziqli fazoning har bir va vektorlar juftligiga biror qoida bilan haqiqiy son mos qoʻyilgan boʻlib, bu moslik uchun quyidagi shartlar:
1) ;
2) ;
3) .
4) , ixtiyoriy uchun ;
bajarilsa, u holda son va vektorlarning skalyar koʻpaytmasi deyiladi.
11- ta’rif. Agar chiziqli fazo elementlari orasida skalyar koʻpaytma aniqlangan boʻlsa, bu fazo Yevklid fazosi dyeyiladi va koʻrinishda belgilanadi.
Har qanday oʻlchovli haqiqiy arifmetik fazoda skalyar koʻpaytmani aniqlash orqali uni Yevklid fazosiga aylantirish mumkin.
12- ta’rif. Yevklid fazosidan olingan vektor uchun quyidagicha

aniqlangan songa vektorning normasi (uzunligi) dyeb aytiladi:
Vektorning uzunligi uchun quyidagi xossalar oʻrinlidir:
_1. barcha elementlar uchun.
2. , bunda ;
3. (Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi);
4. (uchburchak tengsizligi).