Mavzu: Chiziqli fazolarning izomorfligi. Qism fazolar

Mavzu:Chiziqli fazolarning izomorfligi. Qism fazolar

REJA:

• REJA:
• 1. Chiziqli fazolar. Chiziqli bog`liqlik va chiziqli erklilik.
• 2. Chiziqli fazolarning izomorfligi. Qism fazolar.

1-ta’rif. Agar elementlari ixtiyoriy tabiatli boʻlgan L toʻplam berilgan va bu toplam elementlari orasida qoʻshish va songa koʻpaytirish amallari kiritilgan, yaʻni 1) ixtiyoriy x L va y L elementlar juftiga x va y elementlarning yigʻindisi, deb ataluvchi yagona z x y L = + element mos qoʻyilgan; 2) x L element va K  ( K -haqiqiy yoki kompleks sonlar toʻplami) songa x vektorning  songa koʻpaytmasi deb ataluvchi yagona z xL element mos qoʻyilgan boʻlib, aniqlangan bu qoʻshish va songa koʻpaytirish amallari quyidаgi 8 ta aksiomani bajarsa, u holda L toʻplаm chiziqli (yoki vektor) fazo dеyilаdi: 1. Qoʻshish kommutativ, x+y= y+ x 2. Qoʻshish assotsiativ, (x+y+z=x+(y+z) 3. L toʻplаmda barcha x elementlar uchun x+= x shartni qanoatlantiradigan nol element  mavjud; 4. L toʻplаmda har qanday x element uchun x+(- x)= ( ) shartni qanoatlantiradigan−x qarama-qarshi element mavjud;

Bundan keyin biz chiziqli fazo elementlarini vektorlar deb aytamiz. Аgаr chiziqli fаzodаgi vеktorlаr uchun fаqаt hаqiqiy songа koʻpаytirish аmаli аniqlаngаn boʻlsа, u holdа bundаy fаzo hаqiqiy chiziqli fаzo dеyilаdi. Аgаr chiziqli fаzodаgi vеktorlаr uchun komplеks songа koʻpаytirish аmаli аniqlаngаn boʻlsа, u holdа bundаy fаzogа komplеks chiziqli fаzo dеyilаdi. Chiziqli fаzoni аniqlovchi аksiomаlаrdаn, quyidаgi хossаlаrni аjrаtish mumkin:

2. Chiziqli fazolarning izomorfligi. Qism fazolar.

2. Chiziqli fazolarning izomorfligi. Qism fazolar.

Faraz qilaylik biror chiziqli fazo bo’lsin, bu chiziqli fazoda n ta vektorni olib qaraylik.

(1)

Ta’rif. Agar hech bo’lmasa bittasi 0 dan farqli bo’lgan

(2)

Sonlar mavjud bo’lib, (3)

Tenglik bjarilsa u holda (II) vektorlar sistemasi chiziqli bog’langan deyiladi.

Ta’rif. Agar (3) tenglik faqat

Bo’lgandagina bajarilsa, u holda (II) vektorlar sistemasi chiziqli bog’lanmagan deyiladi. Fazodan olingan ixtiyoriy n-ta vektoprlar sistemasi chiziqli bog’langan yoki bog’lanmagan bo’lishi mumkin. Ular haqida quyidagi teoremani keltiramiz. Teorema. Agar (I) vektorlar sistemasi chiziqli bog’langan bo’lsa, u holda ulardan bittasini qolganlari orqali ifodalash mumkin. Isbot. Faraz qilaylik (II) vektorlar sistemasi chiziqli bog’langan bo’lsin. Demak (3) tenglik larning birortasi 0 dan farqli bo’lganda o’rinlidir. Buni e’tiborga olib (3) ni quyidagicha yozamiz. Aniqlik uchun deb qaraylik.

• Bu (5) tenglik vektorni qolganlari orqali ifodalashdan iboratdir.
• Ta’rif. Agar fazoda n ta vektor chiziqli bog’lanmagan bo’lsa, u holda fazo n o’lchovli chiziqli fazo deyiladi va deb belgilanadi.

Faraz qilaylik chiziqli bog’lanmagan bo’lsin. (6) chiziqli bog’langan bo’lsin. U holda chiziqli erkli deyiladi. Endi (6) sistema chiziqli bog’langan bo’lganligi uchun itsbotlangan teoremaga asosan ularning bittasini qolgaglari orqali ifodalash mumkindir. Shuning uchun ni qolganlari orqali ifodalaymiz.

Ta’rif. fazoning n ta chiziqli bog’lanmagan vektorlar to’plami bu fazoning bazisi deyiladi.

Shunday qilib, agar R fazoda bazis vektorlar soni n bo’lsa, u holda bunday fazo n o’lchovli fazo deyiladi va deb belgilanadi.

Masalan, tekislikda vektorlar fazosi 2 o’lchovli fazoni tashkil etadi. fazo fazo to’g’ri chiziqlar ustida yotuvchi vektorlar fazosi bo’lib bir o’lchovlidir.

Faraz qilaylik to’plam bo’lsin. . Bu to’plam elementlariga nisbatan Aniq bir to’plamni tushunish mumkin. Masalan: elementlari sonlardan, vektorlardan, matritsalardan iborat bo’lishi mumkinagar elementlari vektorlardan iborat bo’lsa, vektorlar to’plami deyiladi. Agar elementlari ko’phadlardan iborat bo’lsa, ko’phadlar to’plamidan iborat bo’ladiva xokozolar.

Endi ko’phadlar to’plami qanday bo’lmasin uning elementlarini «vektorlar» deb ataymiz. Bu «vektor» tushuncha, ya’ni elementlarni «vektor» deb atash keng ma’noda tushuniladi.

Ta’rif. Agar M to’plamda ikki vektorning (elementning) yig’indisi va biror vektorni songa ko’paytmasi tushunchasi kiritilgan bo’lib quyidagi shartlar:

bajarilsa, u holda bunday to’plam vektorlarning chiziqli favosi deyiladi.

bajarilsa, u holda bunday to’plam vektorlarning chiziqli favosi deyiladi.

Agar shu shartlardan birortasi bajarilsa, u holda to’plam chiziqli fazo deyiladi.

Misollar: 1. to’plam tekislikda yotuvchi geometrik ma’nodagi vektorlar to’plami bo’lsin.

xk xk xkQ xs

xs xs

Bu qaralayotgan to’plam chiziqli fazodan iborat.

2. to’plam -chi tartibli determinanti 0 dan farqli bo’lgan kvadrat matritsadan iborat bo’lsin.

Ikki matritsaning yig’indisi deb ularning mos elementlarining yig’indisiga aytiladi. sonni ga ko’paytirish uchun matritsaning hamma elementlari ga ko’paytirish kerak. Bu qabul qilingan amallarga ko’ra 1,2,3 shartlarni tekshhirish qiyin emas. 4 shart uchun 0 dan iborat bo’lgan matritsa qaraladi.5 shart uchun ixtiyoriy matritsaga qarama-qarshi matritsa sifatida hamma elementlari qarama-qarshi ishora bilan olinadi. Demak matritsalar to’plami chiziqli fazoni tashkil etadi.

3. Darajasi n dan oshmaydigan ko’phadlarni qaraylik;

ko’phadlarni qo’shish, songa ko’paytirishni oddiy ma’noda ko’ramiz. Bu to’plam ham chiziqli fazoni tashkil etadi.

4. segmentda uzluksiz bo’lgan funksiyalar to’plamini olib qaraylik.

Ixtiyoriy funksiya segmentda uzluksiz. Ikki funksiyani tqo’shish va songa ko’paytirishni oddiy ma’noda qaraymiz. Demak uzluksiz funksiyalar to’plami ham chiziqli fazoni tashkil etadi. 5. M to’plam XOY tekislikning faqat 1-chi chorakda yotuvchi vektorlardan iborat bo’lsin. Bu yerda 5-shart bajarilmaydi.