Mavzu: Chiziqli tеnglamalar sistеmasi

11-§. To’liq differensialli tenglamalar.

Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglamaning ushbu

(1)
ko’rinishi bilan tanishamiz. Bu yerda va funksiyalar sohada aniqlangan uzluksiz, ya’ni
.
Ta’rif-1. Agar (1) differensial tenglamaning chap tomoni biror funksiyaning to’liq differensialidan iborat bo’lsa, u holda (1) tenglamaga to’liq differensialli tenglama deyiladi.
Agar (1) tenglama to’liq differensialli tenglama bo’lsa, u holda uning chap tomoni
(2)
ko’rinishda yoziladi. Bu holda funksiya (1) differensial tenglamaning yechimi bo’lishi uchun ushbu
(3)
shartning bajarilishi zarur va yetarlidir. Chunki (2) tenglikda
(4)
munosabatdan foydalansak, undan
(5)
tengliklarni olamiz.
Faraz qilaylik, funksiya (1) to’liq differensialli tenglamaning yechimi bo`lsin. U holda
,
y’ani

kelib chiqadi. Bu yerda (2) dan foydalanib,

topamiz. Bundan

kelib chiqadi.
Agar funksiya

tenglamaning yechimi bo`lsa, u holda uni differensiallab

hosil qilamiz. Bundan esa funksiya (1) differensial tenglamaning yechimi ekanligi kelib chiqadi.
Teorema-1. Agar bir bog’lamli sohada funksiyalar aniqlangan va uzluksiz bo’lib
(6)
shart bajarilsa, u holda (1) to’liq differensialli tenglama bo’lishi uchun, ushbu
(7)
shartning bajarilishi zarur va yetarli.
Isbot. (Zarurligi). Faraz qilaylik, (1) tenglama to’liq differensalli tenglama bo`lsin. U holda (5) munosabatlar bajariladi. Bunda ushbu

aralash hosilalarning tengligini inobatga olsak,

kelib chiqadi.
Yetarliligi. Aytaylik, sohaning har bir nuqtasida (7) shart bajarilsin. U holda (1) ning to’liq differensialli tenglama ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun (7) tenglikni qanoatlantiruvchi funksiyani topamiz. Ushbu

tenglikni integrallab
(8)
munosabatni hosil qilamiz. Bu tenglikni ikki tomonini o’zgaruvchi bo’yicha differensiallab
(9)
tenglikni olamiz. Bunda funksiyani shunday tanlaymizki, natijada quyidagi
(10)
tenglik bajarilsin. U holda (9) tenglik

ko’rinishni oladi. Endi (10) tenglikni qanoatlantiruvchi birorta funksiyani topamiz:
(11)
Bu formuladan foydalanib, (8) tenglikni quyidagicha yozish mumkin:

Teorema isbot bo’ldi. ■