Mavzu: Chiziqli tеnglamalar sistеmasi

1-§. O’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar.

Dastavval, ayrim sodda differensial tenglamaning umumiy yechimini topish bilan shug’ullanamiz.

Ushbu
(1)
ko’rinishdagi differensial tenglamaga o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama deyiladi. Bu yerdagi va funksiyalar mos ravishda va oraliqlarda aniqlangan uzluksiz deb qaraladi. Bundan ko’rinadiki, (1) differensial tenglamaning o’ng tomoni quyidagi

sohada aniqlangan va uzluksizdir. (1) ko’rinishdagi differensial tenglamaning yechimini topish uchun quyidagi ikki holni ko’rib chiqamiz:
1-hol. Aytaylik, bo’lsin. U holda (1) differensial tenglamani ushbu

ko’rinishda yozish mumkin. Bu tenglikning ikkala tomonini integrallab
(2)
munosabatni hosil qilamiz. Ma’lumki, va funksiyalar uzluksiz ekanligidan, ularning mos ravishda va boshlang’ich funksiyalarining mavjudligi kelib chiqadi. Shuning uchun (2) tenglikni quyidagi
(3)
ko’rinishda yozish mumkin. Qaralayotgan holda monoton funksiya bo’ladi. Chunki,

Bundan esa uning teskarisi mavjud ekanligi kelib chiqadi. Yuqoridagi (3) tenglikdan
(4)
funksiyani topamiz. O’z navbatida bu funksiya qaralayotgan holda (1) differensial tenglamaning umumiy yechimini ifodalaydi.
2-hol. Aytaylik biror nuqtada bo’lsin. Bu tenglamaning ildizi yordamida aniqlangan o’zgarmas funksiya (1) differensial tenglamaning yechimidan iborat bo’ladi.
Demak, (1) differensial tenglamaning umumiy yechimi
(5)
ko’rinishda bo’lar ekan.
Endi, tayinlangan biror nuqtani olib, (1) differensial tenglamaning ushbu
(6)
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish bilan shug’ullanamiz. Shu maqsadda quyidagi
(7)
funksiyalarni tuzib olamiz.
Quyidagi

yordamchi funksiyani qaraylik. Ko’rinib turibdiki,

shart bajariladi. Aniqlanishiga ko’ra va uzluksiz hamda differensiallanuvchidir. Shuning uchun ham sohada uzluksiz va differensiallanuvchi bo’lib,


munosabatlarni qanoatlantiradi. Yuqoridagi mulohazalardan ko’rinadiki, oshkormas funksiyani mavjudligi haqidagi teoremaning barcha shartlarini qanoatlantiradi:
1. nuqtaning atrofida differensiallanuvchi.
2.
Bundan tenglama nuqtaning biror atrofida aniqlangan differensiallanuvchi va ushbu shartni qanoatlantiruvchi ildizining mavjudligi kelib chiqadi. Shu bilan bir qatorda

tenglikning o’rinli bo’lishi ham kelib chiqadi. Ko’rinib turibdiki, funksiya (1) differensial tenglamani va (6) boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini ifodalaydi.