Mavzu: Chiziqli tеnglamalar sistеmasi

6-§. Noma’lum koeffitsiyentlar usuli.

Ushbu
(1)

ko’rinishdagi differensial tenglamaning xususiy yechimini topishning aniqmas koeffitsiyentlar usuli bilan tanishamiz. Bu yerda darajali ko’phad.
Teorema-1. 1) Agar bo’lsa, u holda (1) differensial tenglamaning xususiy yechimi
(2)
ko’rinishda bo’ladi.
2) Agar bo’lsa, u holda (1) differensial tenglamaning xususiy yechimi
(3)

ko’rinishda bo’ladi. Bunda darajali ko’phad.

Isbot. Berilgan (1) differensial tenglamaning yechimini
(4)
ko’rinishda izlaymiz. Bu tenglikning ikki tomonini differensiallab
(5)
munosabatni topamiz. (4) va (5) tengliklarga asosan (1) differensial tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

Oxirgi tenglikning ikki tomonini ga bo’lib
(6)
differensial tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamada bo’lsa, (6) differensial tenglama
(7)
ko’rinishni oladi. Tenglamaning o’ng tomonidagi ko’phad

ko’rinishda bo’lgani uchun (7) differensial tenglamaning yechimi

ko’rinishni oladi. Bundan va yuqoridagi (4) almashtirishga asosan (1) differensial tenglamaning yechimi holda

ko’rinishda bo’lishi kelib chiqadi.
Agar (6) differensial tenglamada bo’lsa, u holda uning yechimini
(8)
ko’rinishda izlaymiz. Bu yerda hozircha noma’lum sonlar. (8) tenglikni differensiallab
(9)
munosabatni hosil qilamiz. (8) va (9) tengliklardan foydalanib (6) differensial tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

ya’ni
(10)
Bu yerda ko’phadlarning tengligidan foydalansak,

noma’lumlarga nisbatan tenglamalar hosil bo’ladi. Bu tenglamalarni ketma-ket yechib
(11)
noma’lumlarning aniqlaymiz. Bundan ko’rinadiki koeffitsiyentlar ketma-ket yagona aniqlanadi. Shunday qilib, (11) munosabatlarni inobatga olsak (8) tenglik quyidagi ko’rinishni oladi:
.
Endi, (4) almashtirishdan foydalanib (1) differensial tenglamaning holdagi xususiy yechimini olamiz:
. ■