Mavzu: Chiziqli tеnglamalar sistеmasi

Oddiy differensial tenglamalar nazariyasiga kirish.
Tabiatda uchraydigan miqdorlarning ko’pchiligi o’zining qonuniga ega. Bu qonunlarni to’g’ridan-to’g’ri topish ancha murakkab masala. Qaralayotgan miqdor, uning o’zgarish tezligi va tezlanish o’rasidagi bog’lanishni topish tabiyatan ancha yengil. Bu bog’lanishning matematik ifodasi sifatida oddiy differensial tenglamalar hosil bo’ladi. Jumladan, matematik mayatnikning erkin tebranishi tenglamasi:

.

Bu yerda muvozanat holatdan chetlashish burchagi bo’lib, mayatnikning uzunligiga bog’liq bo’lgan o’zgarmas sondir.

Ta’rif 1. Erkli o’zgaruvchi , noma’lum funksiyasi va uning hosilalari orasidagi ushbu

(1)

funksional bog’lanishga tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.

Ta’rif 2. Tartibi bo’lgan (1) tenglamani intervalda ayniyatga aylantiruvchi funksiyaga, uning yechimi deyiladi.

Yechimning grafigiga esa (1) oddiy differensial tenglamaning integral chizig’i deyiladi.

Oshkormas funksiya ko’rinishidagi yechimga (1) tenglamaning integrali deyiladi. Tarkibidagi parametrlarga aniq qiymat berish hisobiga ixtiyoriy yechimni hosil qilish mumkin bo’lsa, bu yechimga (1) differensial tenglamaning umumiy yechimi deyiladi va ko’rinishda belgilanadi. Oshkormas ko’rinishdagi umumiy yechimga (1) differensial tenglamaning umumiy integrali deyiladi.

Oddiy differensial tenglamalar odatda har xil ko’rinishda bo’lishi mumkin, jumladan

yuqori tartibli hosilaga nisbatan yechilmagan, ikkinchisi

yuqori tartibli hosilaga nisbatan yechilgan differensial tenglamalar.

Ta’rif-3. Yuqori tartibli hosilaga nisbatan yechilgan oddiy differensial tenglamaning umumiy ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:

. (2)

Kelgusida biz bu turdagi oddiy differensial tenglamaning ushbu

(3)

boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi Koshi masalasining yechimi mavjudligi va yagonaligi haqidagi tasdiqlar bilan tanishamiz.

Xususan hosilaga nisbatan yechilmagan 1-tartibli differensial tenglama

(4)

ko’rinishda bo’ladi. Birinchi tartibli hosilaga nisbatan yechilgan differensial tenglama

(5)

ko’rinishda bo’ladi.

Ta’rif-4. Hosilaga nisbatan yechilgan (5) differensial tenglamaning

(6)

boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasiga Koshi masalasi deyiladi. Bu yerda va oldindan berilgan haqiqiy sonlardir.

Geometrik tilda: tenglamaning nuqtadan o’tuvchi integral chizig’ini topish masalasiga Koshi masalasi deyiladi.

Oddiy differensial tenglamalar nazariyasining asosiy masalalaridan biri, bu Koshi masalasi bo’lib, uning yechimi mavjudmi? Agar bunday yechim mavjud bo’lsa, u yagonami? Agar yechim mavjud va yagona bo’lsa, bu yechimni topish algoritmi qanday bo’ladi?, degan savollarga javob berishdan iborat. Bu savollarga javob beradigan teoremalar mavjudlik va yagonalik teoremalari deb yuritiladi. Keyinchalik, funksiyaga ayrim shartlar qo’yish natijasida (5), (6) Koshi masalasining yechimi mavjud va yagonaligini ko’rsatamiz.