Mavzu: Chiziqli tеnglamalar sistеmasi

Lemma-2. Rikkati tenglamasini ushbu

(5)

almashtirishlar yordamida kanonik ko’rinishga keltirish mumkin:

. (6)

Isbot. Avvalo (5) almashtirishdan

(7)

topamiz. So’ngra (5) va (7) larni (1) differensial tenglamaga qo’yib

ya’ni

(8)

differensial tenglamani olamiz. Bu yerda

deb tanlansa, u holda

o’rinli bo’ladi. Natijada (8) differensial tenglama

(9)

ko’rinishni oladi. Bu differensial tenglamada ushbu

almashtirishni bajarib

ya’ni

(10)

differensial tenglamani topamiz. Oxirgi (10) tenglamada oldidagi koeffitsiyentni nolga tenglashtirsak

ya’ni

kelib chiqadi. Natijada (10) differensial tenglama

kanonik ko’rinishga keladi. Lemma isbotlandi. ■

Teorema-1. Agar Rikkati tenglamasining bitta xususiy yechimi ma’lum bo`lsa, u holda Rikkati tenglamasining barcha yechimlari ikkita kvadratura yordamida topiladi.

Isbot. Faraz qilaylik, funksiya (1) differensial tenglamaning xususiy yechimi bo’lsin. U holda

almashtirish natijasida (1) tenglama ushbu

(11)

ko’rinishni oladi. Teorema shartiga ko’ra

o’rinli. Bundan foydalanib (11) tenglamani

(12)

ko’rinishda yozish mumkin. Bu esa Bernulli differensial tenglamasidir, uning yechimi ikkita kvadratura yordamida topiladi. Chunki (12) tenglama

almashtirish yordamida chiziqli differensial tenglamaga keladi. Shunday qilib

(13)

almashtirish natijasidan Rikkati differensial tenglamasi chiziqli differensial tenglamaga keltirilar ekan. Teorema isbotlandi. ■

Teorema-2. Agar Rikkati tenglamasining ikkita xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, u holda uning umumiy yechimi bitta kvadratura yordamida topiladi.

Isbot. Aytaylik va funksiyalar (1) differensial tenglamaning xusuiy yechimlari bo’lsin. U holda (12) differensial tenglamani

almashtirish yordamida

(14)

chiziqli differensial tenglamaga keltiramiz. (13) munosabatga asosan (14) tenglamaning bitta xususiy yechimi

bo’ladi. Bu holda (14) tenglamaning yechimi bitta kvadratura yordamida topiladi. Teorema isbot bo’ldi. ■