Mavzu: Chiziqli tеnglamalar sistеmasi

Teorema-2. Agar (1) differensial tenglama umumiy integralga ega bo’lsa, u holda (1) differensial tenglama uchun integrallovchi ko’paytuvchi mavjud bo’ladi.

Isbot. Teorema shartiga ko’ra , (1) differensial tenglamaning umumiy integrali bo’lgani uchun

(9)

ya’ni

(10)

tenglik o’rinli bo’ladi. Bu yerda

desak, (10) tenglamadan

(11)

kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan, (1) differensial tenglamaga asosan

(12)

munosabatni hosil qilamiz. (11) va (12) tengliklarni o’zaro tenglashtirib

ya’ni

bo’lishini topamiz. Bundan

kelib chiqadi. O’z navbatida ushbu

munosabatlardan funksiya (1) differensial tenglama uchun integrallovchi ko’paytuvchi ekanligi kelib chiqadi.

Endi integrallovchi ko’paytuvchini topish bilan shug’ullanamiz. Yuqoridagi mulohazalardan ko’rinadiki, funksiyani topish uchun (8) xususiy hosilali differensial tenglamani xususiy yechimini topish kerak bo’ladi. Bu masala o`z navbatida qo’yilgan masalaga nisbatan ham ancha murakkab masaladir. Ayrim hollarda integrallovchi ko’paytuvchini topish uchun (7) yoki (8) tenglamalardan foydalansa bo’ladi.

Teorema-3. Agar funksiya mavjud bo’lib,

(13)

tenglik o’rinli bo’lsa, u holda integrallovchi ko’paytuvchi

(14)

formula orqali topiladi.

Isbot. Yuqoridagi (7) differensial tenglamaning yechimini ko’rinishda izlaymiz. U holda

hosil bo’ladi. Bundan

(15)

ekanligini topamiz. Bu holda (7) tenglama quydagi ko’rinishni oladi:

Bu yerda (15) tenglikni e’tiborga olsak, oxirgi tenglama ushbu

ko’rinishga keladi. Bundan

munosabat kelib chiqadi. (13) tenglikdan foydalanib, oxirgi munosabatni ushbu

ko’rinishda yozish mumkin. Bu tenglamani integrallab

integrallovchi ko’paytuvchini topamiz. Bizga birorta integrallovchi ko’paytuvchi kerak. Shuning uchun deb tanlash biz uchun yetarlidir:

.

Teorema isbotlandi. ■