Mavzu: Chiziqli tеnglamalar sistеmasi

13-§. Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi.
Hosilaga nisbatan yechilgan

(1)

differensial tenglamaning

(2)

boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topishga Koshi masalasi deyiladi.

Teorema-1 (Koshi). Agar (1) differensial tenglamadagi funksiya



to’g’ri to’rtburchakda aniqlangan va uzluksiz bo’lib, o’zgaruvchi bo’yicha Lipshits shartini, ya’ni nuqtalar uchun shunday soni topilib

(3)

tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda (1)-(2) Koshi masalasining

oraliqda aniqlangan va (2) boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yagona yechimi mavjud. Bu yerda

. (4)

Izoh-1. Agar funksiya sohaning har bir nuqtasida xususiy hosilaga ega bo’lib,



shartni qanoatlantirsa, u holda funksiya to’g’ri to’rtburchakda o’zgaruvchi bo’yicha Lipshits shartini qanoatlantiradi.

Haqiqatan ham ixtiyoriy ikki nuqtalar uchun Lagranj teoremasiga asosan quyidagi



munosabat bajariladi. Bu yerda

Oxirgi munosabatdan va xususiy hosilaning chegaralanganligidan (3) tengsizlik kelib chiqadi.

Ammo, ba’zi hollarda hosilaga ega bo’lmagan funksiyalar ham (3) Lipshits shartini qanoatlantiradi.

Masalan. Ushbu funksiya nuqtada hosilaga ega emas, lekin



o’rinli. Bunda Lipshits o’zgarmasi bo’ladi.

Teoremani isbotlashdan oldin quyidagi misollarni qaraylik.