Мавзу: Дифференциал тенгламаларни қаторлар ёрдамида ечиш, бессель тенгламаси

k=0,1,2,… қийматлари учун

Бу системадан c_k коэффициентларни топамиз. Демак, 2-тартибли тенгламанинг ечимини ихтиёрий бошланғич шарт ва унинг ҳосиласи ёрдамида кўриш мумкин. Бу усулни номаoлум коэффициентлар усули дейилади.

Бесселp тенгламасини ўзгармас коэффициентга келтириладиган тенгламалар синфида қаралган эди, яoни

(5)

ёки

бўлиб x=0 нуқта махсус нуқта бўлади.

(5)нинг ечимини

(6)

умумлашган даражали қатор кўринишида қидирамиз.

(6)ни (5)га қўямиз

Бу ифодани га қисқартирамиз ва соддалаштирамиз

x^k ни мос тартиби олдидаги коэффициентларни нолга тенглаймиз

(7)

илдиз учун, (7)дан

ёки

(8)

Шундай қилиб, c₁=0 ва барча k лар учун c_2k+1=0

(8)дан k=1,2,… қийматлар учун c₂,c₄,c₆,…,c_2k коэффициентларни топамиз.

Бу қийматлари (6)га қўйиб ва =n деб,

Бесселp тенгламасининг ечимини ифодалаймиз. Худди шундай = -n учун ҳам ечимни кўриш мумкин .