Mavzu: differensial tenglamalar va ular sistemasini operatsion hisob yordamida yechish usullari

MAVZU: DIFFERENSIAL TENGLAMALAR VA ULAR SISTEMASINI OPERATSION HISOB YORDAMIDA YECHISH USULLARI.

REJA:
27.1. O’zgarmas koeffitsentli chiziqli differensial tenglamalar.

27.2. O’zgarmas koeffitsentli chiziqli differensial tenglamalarni integrallash.

27.1. O’zgarmas koeffitsentli chiziqli differensial tenglamalarni integrallash.

Bu masalaning Laplas operatorini qo’llanishga asoslangan ancha sodda yechish metodini ko‘rsatamiz.

Soddalik uchun ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama bilan cheklanamiz. Shunday qilib, o’zgarmas koeffitsiyentli Chiziqli ikkinchi tartibli differensial tenglama berilgan bo‘lsin:

bu yerda а₁ va а₂— haqiqiy sonlar. Bu tenglamaning у(0) = y_о, у'(0)=у'₀, bu yerda у₀ va у'₀ berilgan sonlar, boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi u (t) xususiy yechimini topish talab qilinadi.

Izlanayotgan y(t) yechim, uning у'(t), у" (t) hosilalari, differen­sial tenglamaning o‘ng tomoni f (t)

originallar bo‘lsin deb faraz qilaylik. deb belgilab va (15), (17) formulalar, shuningdek, boshlang‘ich shartlardan foydalanib, y' (t) va y" (t) tasvirlarni topamiz:

Chiziqlilik xossasiga ko‘ra (23) tenglamada tasvirlarga utamiz:

y"(t)+a₁y’(t)+a₂y(t)p²Y(p)-py₀-y’₀+a₁(pY(p)-y₀)+a₂Y(p)=F(p)

yoki

(р² + a_lp+ а₂) Y (р) = F (р) + ру₀ + у'₀ + а₁ у₀. (24)

(24) tenglama yokamchi tenglama yoki (23) differensial tenglamaga mos tasvirlardagi tenglama deyiladi. Shunday qilib, y(t) original uchun (23) differensial tenglama o’rniga uning Y (p) tasviri uchun (24) Chiziqli algebraik tenglama hosil qildik. (24) tenglamadan to­pamiz:

25)

formula (24) tenglamaning operator yechimi deb ataluvchi yechimi­ni beradi. Original y (t) uchun (25) formula bilan aniqlanadigan Y (p) funksiya tasvir bo‘ladi. Ana shu y(t) (23) differensial teng­lamaning izlanayotgan yechimi bo‘ladi.

1- Misol. у" — 3 у' + 2 у = 2 e^3t differensial tenglamaning у (0)=1, у' (0) = 3 boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiradigan yechimini toping.