Mavzu: differensial tenglamalar va ular sistemasini operatsion hisob yordamida yechish usullari

Yechilishi. Jadvaldagi (II) formula bo‘yicha tenglamaning o‘ng tomonining

tasvirini topamiz:

25) formuladan foydalanib va a₁=-3, а₂ =2 y₀=1 y’₀₌₃ ekanini e’tiborga olib, yechimning tasvirini hosil qilamiz:

Endi jadvaldagi II formulaga ko‘ra originalni topamiz, u berilgan tenglamaning izlanayotgan yechimi bo‘ladi:

у (t) = e^3t.

2- Misol. у" + 4у = sin t differensial tenglamaning у (0) = 1, y’(0)=1 boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiradigan yechimini toping.


Yechilishi. Jadvaldagi (IV) formula bo‘yicha tenglamaning o‘ng tomonining tasvirini topamiz:

formula bo‘yicha yechimning tasvirini topamiz, bunda у₀= 1, у'₀ = 1, а₁=0, а₂ = 4 ekanini e’tiborga olamiz:

Hosil qilingan ifodani o’zgartiramiz. Y (p) ni eng sodda kasrlarga ajratamiz, natijada



So‘ngra



O’garmas koeffitsiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemalarini operatsion hisob metodi bilan yechish usuli bitta tenglama bo‘lgan holdagi kabidir.

Masalan, ikkita noma’lum x(t) va y(t) funksiyalarga nisbatan birinchi tartibli o’garmas koeffitsiyentli ikkita chiziqli tenglama sistemasini ko‘raylik:

Bu sistemaning x(0)=x₀, у(0)=у₀ boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini topish talab qilinadi.

Izlanayotgan x(t) va y (t) funksiyalar, ularning hosilalari va o‘ng tomonlari f₁(t) va f₂(t) lar original deb faraz qilamiz. Ushbu

belgilashlar qilib va (13) formulani kullanib, x'(t) va y'(t) tasvirlarni topamiz:

Chiziqlilik xossasiga ko‘ra (26) differensial tenglamalar sistemasidan tasvirlar uchun algebraik tenglamalar sistemasiga o’tamiz:

(27) sistema yordamchi sistema deyiladi. Uni yechib X(p) va Y(p) tasvirlarni topamiz, biz izlayotgan noma’lum x(t) va y(t) funksiyalar esa bo‘larning oqi ginallaridan iborat bo‘ladi.

Misol. Ushbu


sistemaning x(0)=x₀=0_, y(0)=y₀, boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini toping.

Yechilishi. (jadvaldagi X formulaga qarang) bo‘lgani uchun yordamchi sistema quyidagicha bo‘ladi:



Bu sistemani yechib,



ni topamiz. X(p) va Y(p)ni eng sodda kasrlar yigindisiga ajratib va jadvaldagi (III) (X) va (XI) formulalardan foydalanib topamiz;



Shunday qilib, sistema quyidagi xususiy yechimga ega bo‘ladi:

x=-9+5t+9e^-t+4te^-t_,

y=14-6t-14e^-t-8te^-t

Ikkita yoki undan ko‘p noma’lum funksiyali yo’qori tartibli chiziqli sistemalar operatsion hisob metodi yordamida xuddi yo’qoridagidek yechiladi.