Mavzu: Diofant tenglamalari va ularni yechish usullari. Reja: I. Kirish. II. Asosiy qism

1. Diofant tenglamalari va ularni yechish usullari.
Diofant hayoti va ijodi bilan qiziqmagan matematiklar kam. Uning
“Arifmetika” nomli kitobidan bizga anchagina ma’lumotlar yetib kelgan. Diofant bilan kuchli shug` ullanganlar A.Puankare, A.Veyl, Viet, Ferma, Eyler, Lagranj, Lejandr, Gilbert, Yakobi va boshqalardir. Diofant aniqmas tenglamalarning butun musbat yechimlarini izlash usullari bilan shug` ullangan, lekin ularni yechishning umumiy usullarini qoldirmagan. Aniqmas tenglamalar – Diofant tenglamalarining butun ratsional sonlardagi yechimlarini topishning umumiy usuli borligini toppish yoki yo`qligini isbotlash muammosi Gilbertning 10- muammosi bo‘lib tarixga kirgan. Bu muammo ustida tadqiqotchilar hozirgi kunda ham tadqiqot ishlarini davom ettirmoqdalar.
Diofant tahlili, Diofant tenglamalari, Diofant yaqinlashishi kabi atamalar 50– 60 yillar bo‘ldiki, ular algebraik geometriyaga yaqin bo‘lib qoldi. Antik davr olimlari, xususan, Arximed, Diofant tenglamalarining xususiy usullardagi
yechimlarini berish bilan cheklanib, umumiy usullarni qoldirmagan yoki bunday
usullarga erishmagan. Gretsiya matematiklarining ko`pchiligi geometriya bilan shug`ullangan. Diofant esa ularga qarama-qarshi o‘laroq algebra bilan shug’ullandi. Uning asosiy asari “Arifmetika” bo‘lib, uning o`zidan keyin qoldirgan 13 tomlik asarlaridan faqat 6 tomi shu “Arifmetika” ni saqlab bizga yetkazgan. Unda 198 masala o`z yechimlari bilan keltirilgan. Ko`pchilik hollarda ba`zi aniqmas tenglamalar bir necha xil yechimlari bilan keltirilgan. Diofant, asosan, har bir tenglamaning musbat ratsional yechimlarini izlash bilan shug`ullangan. U tenglamalar yechishning umumiy usullarini qo`llamagan (yoki bunday umumiy usullarni topa olmagan yoki topgan bo`lsa ham uni qo`llashni hoxlamagan), har bir tenglamani yechishga bir-biriga o‘xshamagan usullarni topa olgan, har bir usul uchun ma`lum hiyla ishlatgan va tenglamaning musbat butun yechimlarini topa olgan.
Diofantning masalalar to`plamida bir qator bir noma` lumli 2-darajali to`liq tenglamalar uchraydi, lekin avtor ularning umumiy yechimini keltirmaydi.
Tenglamalarni yechishning umumiy usullari Diofantning yo`qolgan kitoblarida bo‘lishi mumkin, deb taxmin qilinadi.
Tenglamalarni yechishda Diofant mumkin qadar sodda holga keltirgan,
ketma-ket qo‘yilgan qadamlar tenglamani eng sodda holga yetaklab kelgan (ba`zi tenglamalarni yechishdagi ketma-ket qadamlar va yechimlarni ifoda etuvchi, orqaga qaytib, o`rniga qo‘yishlar kabi amallar bajarilgan). Diofant davrida uning ishlarini davom ettiruvchilar bo‘lmadi. VIII-IX asrlarga kelib Diofant ishlari arablarga, hindlarga ma` lum bo‘ldi. Diofant asarlari XVII asrga yetib kelgach, Ferma, Eyler, Gausslar qo`lida o`z mevasini berdi. I.G.Bashmakova o`zining “Диофант и диофантовы уравнения” kitobi 2-va 3-darajali aniqmas tenglamalarning ratsional sonlardagi yechilish tarixiga, ularni yechish usullarini izlashdagi Diofant tadqiqotlariga bag` ishlangan. Diofant qo‘llagan sonli sistema va harfiy simvolika qarab chiqilgan. Tarixchi matematiklar sharxlovlaricha, Diofant musbat butun ratsional sonlar bilan shug` ullangan; u manfiy sonlarni bilmagan, deb qaraydilar. Lekin bu aslan shunday emas. Chunki uning “Arifmetika” kitobida sonlarning sohasi ratsional sonlar maydonigacha kengaytirilgan. Ikki argumentli bitta algebraik tenglamaning ratsional yechimlari – bu algebraik egri chiziqning ratsional nuqtalarini topish tadqiqotlari Diofant “Arifmetika”sida o`z ifodasini topgan. Aniqmas tenglamalarning butun sonlardagi yechimlarini topish muammolarini “Arifmetika”da umuman topish qiyin, lekin bu muammolar bilan keyinchalik Ferma, Eyler, Lagranj va Lejandrlar shug` ullandi. Bashmakovaning “Диофант и диофантовы уравнения” nomli kitobi sof ilmiy nazariy tadqiqotlar mahsuli bo`lib, bu ish muallifning shaxsiy ijodiy mahsulidir, uni ommaviy tarzda o`quvchilarga sharxlash qiyin. Diofantning aniqmas tenglamalaridan birinchi darajali ikki noma`lumli tenglamasini yechishning umumiy nazariyasi XVII asrda K.G.Bash tomonidan yaratildi. XIX asr boshlarida Ferma, Vallis, Eyler, Lagranj, Gausslar Diofantning aniqmas tenglamalaridan

ko`rinishdagisi bilan shug` ullandilar. Bu erda lar butun sonlar bo`lib, bu tenglamaga ikki noma`lumli ikkinchi darajali umumiy bir jinsli bo`lmagan aniqma tenglama deyiladi. J.Lagranj zanjirli kasrlar yordamida umumiy bir jinsli bo‘lmagan ikki noma`lumli ikkinchi darajali aniqmas tenglamalarni tadqiq qildi. K.Gauss esa Diofant tenglamalarining ba`zi bir tiplari uchun yechimlariga asos bo`luvchi kvadratik formalarning umumiy nazariyasini qurdi. Darajasi ikkinchi darajadan yuqori bo‘lgan ikki noma` lumli diofant tenglamalarini tadqiq qilgan A.Tuye jiddiy yutuqlarga XX asrda erishdi.
B.N.Delone

ko`rinishdagi tenglamalarning umumiy yechimini berdi. Fermaning

tenglamasi uchun trivial bo‘lmagan yechimlari topilgan. Ferma muammosi
ning n = 4
uchun Eyler tomonidan ijobiy yechimi topilgan. Xususan,
tenglama yechimlari

formulalar bilan aniqlanadi. Aytaylik, - ixtiyoriy natural son, va lar ushbu shartlar (chegirmalar) bilan aniqlangan bo‘lsin:
1) ;
2) va o`zaro tub, ;
3) va turlicha juftlikda.