Mavzu: Diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlarning dispersiyasi reja

Misol. Quyidagi taqsimot qonuni bilan berilgan X diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping.
X 1 2 5
p 0,3 0,5 0,2.
Yechilishi. Matematik kutilishni topamiz:
M(X)= 1· 0,3 +2· 0,5 +5· 0,2= 2,3.
Chetlanish kvadratining mumkin boʻlgan barcha qiymatlarini topamiz:
= (1-2,3)²=1,69;
= (2 - 2,3)²=0,09;
=(5 -2,3)²= 7,29.
Chetlanish kvadratining taqsimot qonunini yozamiz:
1,69 0,09 7,29
p 0,3 0,5 0,2.
Taʼrifga koʻra dispersiya quyidagiga teng:
D(X)= 1,69 ·0,3 +0,09· 0,5+7,29· 0,2 = 2,01.
Koʻrib turibmizki, dispersiyani taʼrifga asoslanib hisoblash nisbatan uzundan-uzoq ekan. Keyingi paragrafda maqsadga ancha tezroq olib keladigan formula koʻrsatiladi.

3. Dispersiyani hisoblash uchun formula

Dispersiyani hisoblashda kuyidgi teoremadan foydalanish koʻpincha qulay boʻladi.
Teorema. Dispersiya X miqdor kvadratining matemamik kutilishidan X ning matematik kutilishi kvadratini ayirilganiga teng:

Isboti. M(X) matematik kutilish oʻzgarmas miqdor. demak, 2M(X) va M²(X) ham oʻzgarmas miqdorlardir. Buni nazarda tutib va matematik kutilishning xossalaridan (oʻzgarmas koʻpaytuvchini matematik kutilish belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, yigʻindining matematik kutilishi qoʻshiluvchilar matematik kutilishlarining yigʻindisiga teng) foydalanib, dispersiya taʼrifini ifodalovchi formulani soddalashtiramiz:


Shunday qilib,

Formula yozuvidagi oʻrta kavs formulani eslab qolish qulay boʻlishi uchun kiritilgan.
1-misol. Quyidagi taksimot qonuni bilan berilgan X tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping:
X 2 3 5
p 0,1 0,6 0,3.
Yechilishi. M(X) matematik kutilishni topamiz:
M (X)=2· 0,1 +3·0,6 +5·0,3 = 3,5.
X² tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini topamiz:
X² 4 9 25
p 0,1 0,6 0,3.
M (X²) matematik kutilishni topamiz:
M(X²)=4·0,1 +9·0,6+25·0,3=13,3.
Izlanayotgan dispersiya:
= 13,3- (3,5)²=1,05.
Eslatma. X va Y tasodifiy miqdorlarning mumkin boʻlgan qiymatlari bir xil boʻlab, oʻrtacha qiymatlari ham bir xil boʻlsa, u holda ularning dispersiyalari ham teng boʻlishi kerakdek tuyuladi (axir ikkala miqdorning mumkin boʻlgan qiymatlari oʻzlarining matematik kutilishlari atrofida bir xil tarqoq). Ammo umumiy holda bunday boʻlmaydi. Gap shundaki, qaralayotgan miqdorlarning bir xil qiymatlari umuman aytganda har xil ehtimolga ega, dispersiyaning kattaligi esa mumkin boʻlgan qiymatlar bilangina aniqlanib qolmasdan, balki ularning ehtimollari bilan ham aniqlanadi. Masalan, X ning matematik kutilishdan uzoq joylashgan qiymatlarining extimollari Y ning o’sha qiymatlarning ehtimollaridan kata bo’lib, X ning “yaqin” qiymatlarining ehtimollari Y ning shu qiymatlarining ehtimollaridan kichik bo`lsa, u holda ravshanki X ning dispersiyasi Y ning dispersiyasidan katta bo`ladi.
Buni ko`rsatuvchi misol keltiramiz.