Mavzu: Diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlarning dispersiyasi reja

2-misol. Quyidagi taqsimot qonunlari orqali berilgan tasodifiy miqdorlarning dispersiyalarini taqqoslang:

Yechilishi. Quyidagilarga oson ishonch hosil qilish mumkin:

Shunday qilib, X va Y ning mumkin bo`lgan qiymatlari hamda matematik kutilishlari bir xil, ammo dispersiyalari har xil, shu bilan birga
Bunday natijani hisoblamasdan ham, taqsimot qonunlarining o`zidan ko`ra bilish mumkin edi.

4. Dispersiyaning xossalari

1-xossa. C o`zgarmas miqdorning dispersiyasi nolga teng:

Isboti. Dispersiya ta’rifiga ko`ra:

Matematik kutilishning birinchi xossasidan (o`zgarmasning matematik kutilishi uning o`ziga teng) foydalanib quyidagini hosil qilamiz:

Shunday qilib,

O`zgarmas miqdor hamma vaqt bir xil qiymat saqlashini, va demak, tarqoqlikka ega emasligini inobatga olsak, bu xossa oydin bo`lib qoladi.
2-xossa. O`zgarmas ko`paymuvchini kvadratga oshirib, dispersiya belgisidan tashqariga chiqarish mumkin:

Isboti. Dispersiya ta`rifiga ko`ra:

Matematik kutilishning ikkinchi xossasidan (o`zgarmas ko`paytuvchini matematik kutilish belgisidan tashqariga chiqarish mumkin ) foydalanib ,quyidagini hosil qilamiz:


Shunday qilib ,
Agar bo`lsa, CX miqdorning mumkin bo`lgan qiymatlari (absolyut qiymat bo`yicha ) X miqdorning qiymatlaridan kata bo`lishini e`tiborga olsak ,bu xossa tushunarli bo`ladi.Bundan CX qiymatlarining M(CX) matematik kutilish atrofida tarqoqligi X qiymatlarining M(CX) matematik kutilish atrofida tarqoqligi X qiymatlarining M(X) atrofida tarqoqligidan ko`proq bo`lishi ,ya`ni
D(CX)>D(X) kelib chiqadi.Aksincha ,agar bo`lsa,u holda D(CX)3-xossa. Ikkita erkli tasodifiy miqdor yig`indisining dispersiyasibu miqdorlar dispersiyalarning yig`indisiga teng:

Isboti .Dispersiyani hisoblash formulasi bo`yicha :
.
Qavslarini ochib hamda bir nechta miqdorlar yig`indisining va ikkita erkli tasodifiy miqdor ko`paytmasining matematik kutilishlari xossalaridan foydalanib,quyidagini hosil qilamiz:

Shunday qilib,

1-natija.Bir nechta o`zaro erkli tasodifiy miqdorlar yig`indisining dispersiyasi bu miqdorlarning dispersiyalari yig`indisiga teng.
Masalan,uchta qo`shiluvchi uchun

Ixtiyoriy sondagi qo`shiluvchilar uchun isbot mtematik induksiya metodi bilan olib boriladi,
2-natija.O`zgarmas miqdor bilan taodifiy miqdor yig`indisining dispersiyasi tasodifiy miqdorning dispersiyasiga teng:

Isboti. C va X miqdorlar o`zaro erkli,shuning uchun uchinchi xossaga asosan:

Birinchi xossaga asosan D(C)=0 .Demak,

X va X+C miqdorlar faqat sanoq boshi bilan farq qilishi ,va demak, ular o`zlarining matematik kutishlari atrofida bir xil tarqoqligini e`tiborga olsak, xossa tushunarli bo`ladi.
4-xossa.Ikkita erkli tasodifiy miqdor ayirmasining dispersiyasi ularning dispersiyalari yig`indisiga teng:

Isboti.Uchinchi xossaga asosan:

Ikkinchi xossaga asosan :

yoki

5.