Mavzu: Ellips. Giperbola. Parabola

Mavzu:Ellips.Giperbola.Parabola.

214-guruh talabasi

Abdullayeva Iroda

Reja: 1.Ellips. Ellipsning kanonik tenglamasi va uning xossalari. 2.Giperbola. Giperbolaning kanonik tenglamasi va uning xossalari. 3.Parabola.Parabolaning kanonik tenglamasi va asosiy xossalari.

Tekislikda fokuslar deb ataluvchi berilgan ikki nuqtagacha bo’lgan masofalarning yig’indisi o’zgarmas kattalikka teng bo’lgan nuqtalarning geometrik o’rniga ellips deyiladi. F1 va F2 ellipsning fokuslari, M ellipsning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin. F1 va F2 ellipsning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin.F1F2=2c, F1M=r1 , F2M=r2 belgilashlar kiritamiz. Ellipsning ta’rifiga ko’ra, F1 M+F2M=2a, ya’ni R1+R2=2a, Bu yerda a-o’zgarmas son bo’lib, a>c. Oxy koordinatalar sistemasini Ox o’q fokuslardan, Oy o’q F1F2 kesmaning o’rtasidan o’tadigan qilib tanlaymiz.

U holda F2 (-c;0) va F1 (c;0) bo’ladi. M nuqtaning koordinatalari x va y bo’lsin deylik, ya’ni M ( x,y ). Ikki nuqta orasidagi masofa formulasiga ko’ra R1=√(x-c)2+y2 , R2=√(x+c)2+y2 . R1 va R2 ning bu ifodalarni (2.4) tenglikka qo’yib, almashtirishlar bajaramiz: √(x-c)2 +y2 + √(x+c)2 +y2 = 2a, (x-c)2 +y2 = (2a-√(x+c)2+y2)2 x2-2xc+c2-y2=4a2-4a√(x+c)2+y2 +x2+2xc+c2+y2, a√(x+c)2+y2=a2+xc , a2x2+2a2xc+a2c2+a2y2=a4+2a2xc+x2c2, (a2-c2)x2-a2y2=a2(a2-c2). B2=a2-c2 (chunki a>c) belgilash kiritib,topamiz: B2x2+a2y2=a2b2, Yoki X2/a2+y2/b2=1 . (2.5) tenglamaga ellipsning kanonik tenglamasi deyiladi.

X=acost, y=bsint tenglamalar bilan aniqlanuvchi m(x,y) nuqta ellips nuqtasi bo’lishini 1-misoldagi kabi ko’rsatish mumkin. Ellipsni aniqlovchi ushbu X=acost Y=b sint, tϵ [0; 2п] Tenglamalar sistemasiga ellipsning parametrik tenglamalri deyiladi. Ellipsning shaklini uning kanonik tenglamasidan foydalanib aniqlaymiz. (2.5) tenglikda x va y ning faqat juft darajalari qatnashgani uchun ellips Ox, Oy, o’qlarga va O (0;0) nuqtaga nisbatan simmetrik bo’adi. Shu sababli (2.5) tenglamani x≥0, y≥0 da (I-chorakda) tekshirish yetarli bo’ladi. Ellipsning shakli b/a nisbatga bog’liq bo’ladi, ammo ellipsning shaklini c/a nisbat yordamida tekshirish qulaylikka ega. Ɛ=c/a kattalikka ellipsning ekstsentritsiteti deyiladi.

Bunda 0<Ɛ<1, chunki 0tomon siqilib boradi, aksincha ɛ→0 da b/a→1, ya’ni ellips aylanaga yaqinlashib boradi. x=±a/ɛ to’g’ri chiziqlar ellipsning direktrisalari deb ataladi. ellipsning m nuqtasidan direktrisalargacha bo’lgan d1 va d2 masofalar uchun ushbu: r1/d1=r2/d2=ɛ tenglikalar bajariladi. bu tengliklardan ellipsning fokal radiuslari uchun r1=a-ɛx, r2=a+ɛx formulalar hosil qilinadi. fokuslari oy o’qida va markazi koordinatalar boshda yotuvchi ellipsning kanonik tenglamalari shu kabi aniqlanadi.har ikkiala hol uchun ellipsning tenglamalarini va asosiy xossalarini keltiramiz.

Giperbola Tekislikda fokuslar deb ataluvchi berilgan ikki nuqtagacha bo’lgan masofalar ayirmasining moduli o’zgarmas kattalikka teng bo’lgan nuqtalarning geometrik o’rniga giperbola deyiladi. Oxy koordinatalar sistemasini Ox o’q F1 va F2 fokuslardan, Oy o’q F1F2 kesmaning o’rtasidan o’tadigan qilib tanlaymiz. M(x,y) giperbolaning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin. F1F2=2c, F1M=r1, F2M=r2 Belgilashlar kiritamiz. Giperbolaning ta’rifiga ko’ra, ǀ r1-r2ǀ= 2a, Bu yerda a-o’zgarmas son bo’lib, a

I-chorakda tenglamadan y=b/a√x2-a2 kelib chiqadi. Bunda x≥a va x koordinata a dan boshlab o’sishi bilan y koordinata ham mavhum yarim o’qlar, F1M, F2M kesmalarning r1, r2, uzunliklariga fokal radiuslar deyiladi. Ɛ=c/a kattalikka giperbolaning ekssentrisiteti deyiladi. Bunda Ɛ>1, chunki C>a. B2=c2-a2 dan b/a=√(c/a)2-1, ya’ni b/a=√Ɛ2-1. Demak, ekstsentrisitet birga qanchalik yaqin bo’lsa, b/a shunchalik kichik bo’ladi, ya’ni Ɛ→1 da b/a→0 va giperbola haqiqiy o’qi tomon siqilib boradi, aksincha Ɛ kattalashgan sayin b/a ham kattalashadi va giperbolaning tarmoqlari kengayib boradi. X=±a/Ɛ to’g’ri chiziqlar giperbolaning direktrisalari deb ataladi. Fokuslari Oy o’qida va markazi koordinatalar boshda yotuvchi giperbolaning kanonik tenglamasi shu kabi aniqlanadi.

Giperbolaning M nuqtasidan direktrisalargacha bo’lgan d1 va d2 masofalar uchun ushbu r1/d1=r2/d2=Ɛ tengliklar bajariladi. Bu tengliklardan giperbolaning fokal radiuslari uchun ushbu x>0 bo’lganda r1=Ɛx-a, r2=Ɛx+a; x<0 bo’lganda r1=-a-Ɛx, r2=a-Ɛx formulalar hosil qilinadi.Yarim o’qlari teng bo’lgan giperbolaga teng tomonli giperbola deyiladi. Teng tomonli giperbola x2-y2=a2 tenglama bilan aniqlanadi.

Tekislikda fokus deb ataluvchi berilgan nuqtadan va direktrisa deb ataluvchi berilgan to’g’ri chiziqdan teng uzoqlikda yotuvchi nuqtalarning geometric o’rniga parabola deyiladi. Parabolaning fokusidan direktrisasigacha bo’lgan masofani p (p>0) bilan belgilaymiz. P kattalikka parabolaning parametrik deyiladi. Oxy koordinatalar sistemasini Ox o’q direktrisaga perpendicular va fokusdan o’tadigan, O(0;0) nuqta fokus va direktrisaning o’rtasida yotadigan qilib tanlaymiz. Tanlangan koordinatalar sistemasida F(P/2;0) nuqta fokus, x=-p/2 to’g’ri chiziq direktrisa bo’ladi. M(x,y) parabolaning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin. M nuqtaning direktrisadagi proyektsiyasini N bilan belgilaymiz.

Simmetrik qilib chizamiz. Bunda O(0;0) nuqta parabolaning uchi, Ox o’q parabolaning o’qi deb ataladi. Parabolaning ekstrisiteti Ɛ=NM/MF=1 ga teng bo’ladi, direktrisasi x=-p/2 tenglama bilan aniqlanadi.