Mavzu: ellips ta’rifi, kanonik tenglamasi

Ellipsni yasash, parametrik tenglamalar.

Kanonik tanglamasi bilan berilgan ellipsni yasashni ko’rsataylik. Markazalari koordinatalar boshida va a>b radiusli ikkita aylanani chizamiz (133-chizma). Koordinatalar boshidan ixtiyoriy nur chiqaraylik , uning obsissalar o’qiga og’ish burchagi ϕ bo’lib aylanalar bilan kesishgan nuqtalari L , N bo’lsin.

y L

ϕ

O

133-chizma

nuqtalardan Oy o’qqa parallel to’g’ri chiziqlarni o’tkazamiz. bo’lsin. N nuqtadan Ox o’qqa parallel to’g’ri chiziq o’tqazamiz , uning tog’ri chiziq bilan kesishgan nuqtasi ellipsning nuqtasi bo’ladi. Xaqiqattan, nuqtaning koordinatalari desak , ushbu munosabatni hosil qilamiz:

, y=b bu tenglklarning har ikkala tomonini kvadratga oshiramiz va hadlab qo’shsak , nuqta ellipsning nuqtasidir . O dan chiqarilgan har bir nur ellipsdagi nuqtani beradi. ϕ = 0, ϕ=, ϕ=ᴨ ϕ= qiymatlarga ellipsning uchlari mos keladi. ϕ ning 0< ϕ <ᴨ qiymatlarida ellipsning Ox o’q bilan chegarallangan yuyqori yarim tekisligidagi nuqtalari, , ϕ ning ᴨ< ϕ <2ᴨ qiymatlarida esa quyi yarim tekislikdagi nuqtalari hosil bo’ladi. Faqat ellips ustida yotgan nuqtalarning koordinatalarigina

(A)

Tenglamalar sistemasini qanoatlantirgani uchun bu sistema ellipsni aniqlaydi (A) tenglamalr ellipsning parametrik tenglamalari deyiladi . Bu tenglamalar ellipsni yuqorida ko’rsatilgan usulda yasash uchun asos vazifasini bajaradi .

y

0 P x

134-chizma

6.