Mavzu: ellips ta’rifi, kanonik tenglamasi

Ellips shakli .

Ellipsning (7) kanonik tenglama bo’yicha shaklini o’rnatamiz.

1. 
   (7) tenglmadan ko’rinadiki , ellips ikkinchi tartibli chiziq .
   
2. 
   Ellips chegaralangan chiziq (7) tenglamadan ko’rinib turibdiki , uning chap tomonidagi ifoda doimo musbat bo’lib , har bir xad quyidagi shartni qanoatlantirishi kerak:
   

Bundan |x|

3. 
   (7) tenglama bilan aniqlangan ellips koordinatalar o’qlariga nisbatan simmetrikdir.
   
4. 
   Ellipsning koordinata o’qlari bilan kesishgan nuqtalarini topamiz. Masalan Ox o’q bilan kesishgan nuqtalarini toppish uchun ushbu tengllamalarni birgalikda yechamiz:
   

.

5. 
   Endi (7) tenglamani y ga nisbatan yechaylik:
   

(15)

Ellips koordinata o’qlarining har biriga nisbatan simmmterik bo’lgani uchun uning birinchi koordinata choragiga nuqtalar uchun bo’lib , ellipsning bu choragidagi qismi uchun (16)

Bundan (16) funksiyaning monoton kamayuvchi ekanligi va bo’lishini ya’ni bo’ishi be’vosita ko’rinadi. Demak , faqat birinchi chorakdagi qismini 130-chizmada ko’rsatilgan yoy deb tasavvur qilish mumkin. Ellipsning koordinata o’qlariga nisbatan simmetrikligidan foydalanib , uning birinchi chorakda hosil qilingan qismi bo’yicha shakllini 131- chizmda tasavur qilish mumkin.

y y

O x x

130-chizma 131-chizma

Eslatma: Agar ellipsning fokuslari ordinatalar o’qida joylashib qolsa, uning kanonik tengamasi ham (7) ko’rinishida bo’ladi bu yerda b>a.

3. 
   Ekstsentrisitet
   

Ta’rif: Ellipsning fokuslari orasidagi masofaning katta o’qining uzunligiga nisbati Ekstsentrisitet deyiladi va Ekstsentrisitet e harfi bilan belgilanadi.

Ta’rifga ko’ra hamda c 0< e < 1 .

Ellipsning Ekstsentrisiteti uning shaklini aniqlashda muhim ro’l o’ynaydi.Xaqiqatdan ham (5) dan shuning uchun

Bundan

𝜁