Mavzu: Funksional qatorlarni integrallash va differensiallash

Ko‘p o‘zgaruvchining funksiyasi haqida tushuncha. Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning grafigi. Sath chiziqlari va sirtlari, n o‘zgaruvchili funksiyaning limiti. Takroriy limitlar.
Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya va uning limiti: Ko‘p o‘zgaruvchining funksiyasi haqida tushuncha. Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning grafigi. Sath chiziqlari va sirtlari, no‘zgaruvchili funksiyaning Funksional qatorlar Hadlari 𝑥 o’zgaruvchining funksiyalari bo’lgan ∑ ∞ 𝑛=1 𝑢𝑛 (𝑥) = 𝑢1 (𝑥) + 𝑢2 (𝑥) + ⋯ + 𝑢𝑛 (𝑥) + ⋯ (1) ko’rinishdagi qatorlarga funksional qatorlar deb ataymiz. 𝑥 o’zgaruvchiga aniq bir 𝑥0 qiymat berib yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi 𝑢1 (𝑥0 ) + 𝑢2 (𝑥0 ) + ⋯ + 𝑢𝑛 (𝑥0 ) + ⋯ sonli qatorni hosil qilamiz. 1-Ta’rif. Agar hosil qilingan sonli qator yaqinlashuvchi bo’lsa, 𝑥0 nuqta (6) funksional qatorning yaqinlashish nuqtasi, agar uzoqlashsa−uzoqlashish nuqtasi deb ataladi. limiti. Takroriy limitlar.
2-Ta’rif. 𝑥 argumentning funksional qator yaqinlashuvchi bo’ladigan qiymatlari to’plamiga funksional qatorning yaqinlashish sohasi deb ataladi. 1-Misol. Ushbu 1 /(1+𝑥) + 1 /(1+𝑥^ 2) + ⋯ + 1 /(1+𝑥^ 𝑛) + ⋯ qatorning yaqinlashish sohasini topamiz. Agar 𝑥 > 1 bo’lsa, 𝑛 → ∞ da (𝑛) 𝑥 ~1 /(𝑥^ 𝑛) = (1/ 𝑥)^ 𝑛 bo’ladi. ∑ ∞ 𝑛=1( 1/ 𝑥)^ 𝑛 qator cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya sifatida yaqinlashuvchi, shuning uchun berilgan (2) qator ham yaqinlashuvchi. Agar 𝑥 < 1 bo’lsa, qatorning umumiy hadi uchun lim𝑛→∞ 𝑢( )𝑥 = lim𝑛→∞ 1/( 1 + 𝑥^ 𝑛) = 1 ≠ 0 bo’ladi, ya’ni qator yaqinlashishining zaruriy sharti bajarilmayapti, shuning uchun berilgan qator uzoqlashadi.
Agar 𝑥 = 1 bo’lsa, qator 1/ 2 + 1 2/ + ⋯ + 1/ 2 + ⋯ ko’rinishda bo’ladi va u uzoqlashuvchi. Nihoyar, 𝑥 = −1 bo’lsa, toq tartib raqamli hadlar cheksizlikka aylanadi va demak qator uzoqlashadi. Shunday qilib, (2) funksional qatorning yaqinlashish sohasi (−∞, −1 )∪( 1, +∞) to’plamdan iborat bo’lar ekan . Funksional qatorning yaqinlashish sohasida uning yig’indisi 𝑥 o’zgaruvchining biror 𝑆 = 𝑆(𝑥) funksiyasidan iborat bo’ladi. Bu funksiya yaqinlashish sohasida ( 𝑥) = lim𝑛→∞ 𝑆𝑛 (𝑥) tenglik bilan aniqlanadi, bu yerda 𝑆𝑛( 𝑥) = 𝑢1 (𝑥) + 𝑢2 (𝑥) + ⋯ + 𝑢𝑛 (𝑥) qismiy yig’indi.