Mavzu: Funksional qatorlarni integrallash va differensiallash

3-Ta’rif. Shunday bir yaqinlashuvchi musbat hadli 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 + ⋯ sonli qator topilib, 𝑥 o’zgaruvchining biror 𝐷 o’zgarish sohasida (1) funksional qatorning hadlari uchun l𝑢1 (𝑥)l ≤ 𝑎1 , l𝑢2 (𝑥) l≤ 𝑎2 , …, l𝑢𝑛 (𝑥)l ≤ 𝑎𝑛 ,… (4) tengsizliklar o’rinli bo’lsa, (1) funksional qator 𝐷 sohada kuchaytirilgan qator deb ataladi. 2-Misol. sin 𝑥/ 1^ 2 + sin 2𝑥 /2^ 2 + sin 3𝑥 /3^ 2 + ⋯ + sin 𝑛𝑥/ 𝑛^ 2 + ⋯ funksional qator butun 𝑂𝑥 o’qda kuchaytirilgan. Haqiqattan ham ixtiyoriy 𝑥 uchun lsin 𝑛𝑥/ 𝑛^ 2l < 1/ 𝑛^ 2 ,( 𝑛 = 1,2, … ) , va ∑ ∞ 𝑛=1 1 /𝑛^ 2 qatorning yaqinlashuvchi ekanligi ma’lum. (1) funksional qator biror 𝐷 sohada 𝑆(𝑥) yig’indiga ega bo’lsin. 𝑆(𝑥) yig’indi funksiya qanday shartlar bajarilganda 𝑢1 (𝑥), 𝑢2 (𝑥), …, 𝑢𝑛 (𝑥),… qator hadlarining xossalarini oladi degan savolning tug’ilishi tabiiy. Masalan, agar barcha 𝑢𝑛 (𝑥) funksiyalar 𝐷 sohada uzluksiz bo’lsa, (𝑥) ham bu sohada uzluksiz bo’ladimi? Bu savolni (𝑥) funksiyaning differensiallnuvchanligi yoki integrallanuvchanligi haqida ham qo’yish mumkin. 3-Misol. (1 − )+ 𝑥 (1 – 𝑥) + 𝑥 ^2 (1 − )+ ⋯ + 𝑥^ (𝑛−1 )(1 – 𝑥) + ⋯ qatorni qaraymiz. Bu qator cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya sifatida 𝐷 = (−1,1] oraliqda yaqinlashsishi ravshan. Agar 𝑥 ≠ 1 bo’lsa, ( 𝑥) =( 1 – 𝑥)/( 1 – 𝑥) = 1. Agar 𝑥 = 1 bo’lsa, ( 𝑥 )= 0. Shunday qilib, 𝐷 oraliqda 𝑆 (𝑥) = 1, agar 𝑥 ≠ 1 0, agar 𝑥 = 1. Demak qator hadlari 𝐷 oraliqda uzluksiz bo’lsa ham, uning (𝑥) yig’indisi bu oraliqda uzluksiz emas ekan. 1-Teorema(Qator uzluksizligi). Uzluksiz funksiyalarning [𝑎, 𝑏] kesmada kuchaytirilgan funksional qatorining yig’indisi ham bu kesmada uzluksiz bo’ladi. 2-Teorema (Qatorni integrallash). Uzluksiz funksiyalarning (1) qatori [𝑎, 𝑏] kesmada kuchaytirilgan va (𝑥) uning yig’indisi bo’lsin. U holda (𝑥) funksiyaning [𝑎, 𝑏] kesmaga tegishli bo’lgan [𝛼, 𝛽] kesma bo’yicha integrali qator hadlarining xuddi shunday integrallari yig’indisiga teng, ya’ni ∫ 𝛽 𝛼 𝑆(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝛽 𝛼 𝑢1 (𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝛽 𝛼 𝑢2 (𝑥)𝑑𝑥 + ⋯ + ∫ 𝛽 𝛼 𝑢𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 + ⋯ Mulohaza. Agar qator kuchaytirilmagan bo’lsa, har doim ham uni hadma-had integrallab bo’lmaydi. Buning ma’nosi shundan iboratki, ∫ 𝛽 𝛼 (𝑥)𝑑𝑥 integral (1) qator hadlari integrallari yig’indisiga teng bo’lavermaydi. 8 Murojaat uchun: T.me/UktamRakhmonov 3-Teorema (Qatorni differensiallash). Agar hadlari [𝑎, 𝑏] kesmada uzluksiz hosilalarga ega bo’lgan (6) qator yig’indisi 𝑆(𝑥) va bu qator hadlarining hosilalaridan tuzilgan 𝑢1 ′ (𝑥) + 𝑢2 ′ (𝑥) + ⋯ + 𝑢𝑛 ′ (𝑥) + ⋯ (5) qator ana shu kesmada kuchaytirilgan bo’lsa, (5) hosilalar qatorining yig’indisi dastlabki berilgan (1) qator yig’indisining hosilasiga teng, ya’ni 𝑆 ′ 𝑥 = 𝑢1 ′ (𝑥) + 𝑢2 ′ (𝑥) + ⋯ + 𝑢𝑛 ′ (𝑥) + ⋯ Mulohaza. Hosilalar qatorining kuchaytirilganligi muhim talab, uning bajarilmasligi qatorni hadma-had differensiallash mumkin bo’lmasligiga olib kelishi mumkin. 9 4-Misol. Ushbu sin 1 4 𝑥 1 2 + sin 2 4 𝑥 2 2 + sin 3 4 𝑥 3 2 + ⋯ + sin 𝑛 4 𝑥 𝑛 2 + qatorni qaraymiz. Bu qator uzluksiz funksiyaga yaqinlashadi, chunki u butun son o’qida kuchaytirilgan, ya’ni hadlari absolyut qiymati bo’yicha yaqinlashuvchi musbat hadli 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ + 1 𝑛 2 + ⋯ qatorning hadlaridan katta emas. Berilgan qator hadlarining hosilalaridan tuzilgan 1 2 cos 1 4 𝑥 + 2 2 cos 2 4 𝑥 + 3 2 cos 3 4 𝑥 + ⋯ + 𝑛 2 cos 𝑛 4 𝑥 + ⋯ qator uzoqlashuvchi. Masalan, 𝑥 = 1 nuqtada bu qator uzoqlashuvchi 1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + 𝑛 2 + ⋯ qatorga aylanadi.◄ 10 ln(1 ) + x funktsiyani Makleron qatoriga yoyish uchun cheksiz kamayuvchi 1 2 1 ... ( 1) ... 1 n n x x x x = − + − + − + + , x −( 1,1) Geometrik progressiyaning yig’indisi formulasidan foydalanamiz. Darajali qatorlarni yaqinlashish intervalida integrallash xossasidan foydalanamiz: 2 0 0 0 0 0 ... ( 1) ... 1 x x x x x dx n n dx xdx x dx x dx x = − + − + − + +      Bundan 2 3 1 ln(1 ) ... ( 1) ... ,