Mavzu: Funksiyalarni Teylor va Makloren qatorlariga yoyishga misollar. Lopital qoidasi Bajardi: Tekshirdi

Binomial qatorlar

m=1/2 bo’lganda

m=-1/2 bo’lganda:

(6)

Binom yoyilmasini boshqa funktsiyalarning yoyilmasiga tadbiq etamiz:

(x)=arcsinx funktsiyani Маkloren qatoriga yoyamiz. (6) tenglikdagi х o’rniga -х² ifodani qo’ysak:

|x|<1 bo’lganda, darajali qatorlarni integrallash haqidagi teoremaga asosan quyidagini hosil qilamiz:

Bu qator (‑1; 1) оraliqda yaqinlashadi. Qator х=1 bo’lganda ham yaqinlashishini vа bu qiymatlar uchun qatorning yig’indisi arcsinx gа tengligini isbot qilish mumkin. U vaqtda х=1 deb olib, ? ni hisoblashning quyidagi formulasini hosil qilamiz:

arcsin1=

Roll teoremasi: funksiya [a;b] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo‘lsin. Agar funksiya (a;b) intervalda differensiallanuvchi bo`lib, f(a)=f(b) tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda (a;b) intervalga tegishli hech bo`lmaganda bitta shunday c nuqta topiladiki, bo‘ladi.

Lagranj teoremasi: funksiya [a;b] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo‘lib, (a;b) intervalda differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda (a;b) intervalga tegishli hech bo‘lmaganda bitta shunday c nuqta topiladiki, munosabat o‘rinli bo‘ladi.

Koshi teoremasi: Agar ikkita f(x) va _ funksiyalar [a, b] kesmada uzluksiz va uning ichida differensiallanuvchu bo`lsa, shu bilan birga _ shu kesma ichining hech qayerida nolga aylanmasa, u holda [a, b] kesma ichida shunday x=c, a nuqta topiladiki, unda



Teylor-Makloren formulasi

ifoda

Teylor formulasi, R_n(x) Teylor formulasining qoldiq hadi.

Teylor formulasining a=0 dagi hususiy ko’rinishi

Makloren formulasi deyiladi.

Bu formula funksiyaning erkli o‘zgaruvchi x ning darajalari bo‘yicha yoyilmasini beradi.

Lopital qoidasi: Aytaylik, biror [a, b] kesmada f(x) va _ funksiyalar Koshi teoremasining shartlarini qanoatlantirsin va uning biror x=a nuqtasida nolga aylansin, yani _ (yoki _) bo`lsin; u holda <sub></sub>da <sub></sub> nisbatning limiti mavjud bo`lsa, _ da _ ham limiti mavjud bo`ladi, shu bilan birga

1)

2) .

Roll, Lagranj, Koshi teoremalariga doir misollar.

1. funksiya uchun [-1;1] segmentda Roll teoremasini tatbiq etish mumkinmi?

1. 
   f(x) funksiya uchun Roll teoremasining birinchi sharti bajariladi: f(x) funksiya [-1;1]da uzluksiz.
   
2. 
   f(x) funksiya uchun ikkinchi shart ham bajariladi. f `(x) =x³ hosila mavjud.
   

1. 
   f(x) funksiya uchun ƒ(-1)=ƒ(1)=1/4 tenglik o‘rinli. Demak, f `(c)=0 bo‘ladigan nuqta mavjud: f`(x)=x³=0, x=c=0 da o‘rinli.
   

ƒ ‘(c)=ƒ ‘(0)=0

2. y=x² parabolaning qaysi nuqtasiga o‘tkazilgan urinma A(-1;1) va B(3;9) nuqtalarini birlashtiruvchi vatarga parallel bo‘ladi?

a= -1; b=3

AB vatarning burchak koeffitsienti

y`=f ‘(x)=2x; 2x=2 tenglik faqat x=1 bo‘lganda o‘rinli, demak x=1 nuqtaga o‘tkazilgan urinma vatarga parallel.