Mavzu: Funksiyalarni trigionometrik ko'pxad bilan yaqinlashtirish Reja

Mavzu: Funksiyalarni trigionometrik ko'pxad bilan yaqinlashtirish
Reja
1.Funksiyani ko’phad bilan yaqinlashtirish haqida tushuncha
2.Veyershtrass teoremasi
3.Funksiyani trigonometrik ko’phad bilan yaqinlashtirish
4. Eng yaxshi tekis yaqinlashuvchi ko’phadlar

1. 
   Funksiyani koʻphad bilan yaqinlashtirish haqida tushuncha
   

Maʼlumki, funksiya matematik analiz kursida o’rganiladigan asosiy obyekt. Koʻpgina masalalar esa, funksiyani hisoblash (berilgan nuqtada qiymatini topish) bilan bog’liq funksiyaning murakkab bo’lishi bunday hisoblashlarda katta qiyinchiliklar tugʻdiradi. Natijada funksiyani unga qaraganda sodda va hisoblashga qulay boʻlgan funksiya bilan yaqinlashtirish- taqribiy ifodalash masalasi yuzaga keladi.
Funksiyaning darajali qatoriga yoyilishidan uni taqribiy hisoblashdan keng foydalaniladi. Bunda funksiyani darajali qator qismiy yig’indisi bilan almashtirib, funksiyaning berilgan nuqtadagi qiymatini toppish ko’phadning shu nuqtadagi qiymatini hisoblashga keltiriladi. Darajali qator tuzilishida koʻra sodda boʻlishi, uning qismiy yig’indisi esa oddiy ko’phad ekanligi funksiyaning berilgan nuqtada gi qiymatini effektiv hisoblay olinishi mumkinligiga olib keladi.
Shuni ham taʼkidlash lozimki, bunday imkoniyat faqat “yaxshi” funksiyalar uchun, yaʼni istalgan tartibdagi hosilalarga ega boʻlgan va maʼlum shartni qanoatlantiradigan funksiyalar uchun mavjud boʻladi. Ixtiyoriy uzluksiz funksiyalar berilgan bo’lsa, uni biror koʻphad yordamida taqribiy hisoblash mumkin bo’larmikan degan savol tug’iladi. Ya’ni funksiyani koʻphad bilan taqribiy almashtirish imkoniyatini analitik funksiyalar sifatida uzluksiz funksiyalar sinfiga umumlashtirish masalasi paydo boladi.
1885yilda mashhur nemis matematigi K.Veyershtrass tomonidan uzluksiz funksiyani ko’phad bilan yaqinlashtirish mumkinligi ko’rsatildi.Bu fakt quyida keltiriladigan teorema orqali ifodalanadi.
Teorema:(Veyershtrass teoremasi) Agar funksiya segmentda berilgan va uzluksiz bo’lsa, u holda
(1)
ko’phadlar topiladiki
(2)
bo’ladi.
Bu teoremaning turlicha isbotlari mavjud bo’lib, biz uni Bernshteyn ko’phadlari yordamida isbotini keltiramiz.
Ta’rif: funksiya segmentda berilganbo’lsin. Ushbu
(3)
ko’phad funksiyaning Bernshteyn ko’phadi deb ataladi.
Bernshteyn ko’phadi n-darajali ko’phad bo’lib, uning koeffitsiyentlari funksiyaning nuqtalardagi qiymatlari orqali ifodalanadi. Masalan, bo’lganda



bo’ladi.
Teorema:(Bernshteyn teoremasi) Agar funksiya segmentda berilgan va uzluksiz bo’lsa, u holda
(4)
bo’ladi.
Avvalo bitta lemma isbotlaymiz.
1.Lemma. Ushbu
(5)
(6)
ayniyatlar o’rinlidir.
Isbot.Ma’lumki, lar uchun

Bu ayniyatda deb olinsa, undan

bo’lishi kelib chiqadi.
(6) ayniyatni isbotlash uchun ushbu

yig’indilarni hisoblaymiz.
Agar

ekanligini e’tiborga olsak, u holda
(7)

,
bo’lishini topamiz. Endi

yig’indini hisoblaymiz.
+

.
Bu hamda yuqoridagi (6) va (7) munosabatlardan foydalanib, quyidagini topamiz:

Lemma isbot bo’ldi.
Bu lemmadan quyidagi natija kelib chiqadi.
Natija. Ixtiyoriy va sonlar uchun
(8)
bo’ladi.
Haqiqatdan ham, ixtiyoriy uchun bo’lib, (6) munosabatdan (8) tengsizlikning o’rinli bo’lishi kelib chiqadi.
Bernshteyn teoremasining isboti. Yuqoridagi (4) va (5) munosabatlarga ko’ra
(9)
bo’ladi.
funksiya segmentda uzluksiz. Demak, Kantor teoremasiga asosan u shu segmentda tekis uzluksiz bo’ladi, ya’ni olinganda ham, shunday topiladiki, uchun bo’lganda tengsizlik bajariladi.
Yuqoridagi (9) yig’indi k ning qiymatlari bo’yicha yig’ilgan. Bu yig’indining hadlari k ning

tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlari bo’yicha hamda k ning

tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlari bo’yicha ajratib, ulardan ushbu
larni hosil qilamiz. Ravshanki,
(10)
bo’ladi.
Endi, keying tenglikning o’ng tomonidagi yig’indilarning har birini alohida-alohida baholaymiz.
,
(11)
Bunda
Agar bo’lganda bo’lishini e’tiborga olsak, u holda
Bo’ladi.Yuqorida keltirilgan lemmaning natijasidan fiydalanib, quyidagini topamiz:

Demak,
(12)

Natijad (10), (11) va (12) munosabatlardan
Bo’lishi kelib chiqadi. Agar ni qilib olinsa, u holda
Bo’ladi. Bundan esa
Bo’ishi kelib chiqadi.Teorema isbot bo’ldi.
Endi funksiya segmentda berilgan va uzluksiz bo’lsin.
Quyidagi chiziqli almashtirish segmentni segmentga akslantiradi. Bu almashtirishdan foydalanib ushbu
Funksiyani hosil qilamiz. Bu funksiya segmentda berilgan vas hu segmentda uzluksiz bo’ladi. U holda Bernshteyn teoremasiga ko’ra
(14)
Bo’ladi. Bunda
(13) v (14) munosabatlardan
Bo’lishi kelib chiqadi, bunda
.
Shunday qilib, qaralayotgan oraliq segmentdan iboratbo’lgan holda quyidagi teorema (Veyershtrass teoremasi) ga kelamiz.
Teorema (Veyershtrass teoremasi) Agar funksiya segmentda berilgan va uzluksiz bo’lsa, u holda

Bo’ladi.
Garchi Veyershtrass teoremansi funksiyani ko’phad bilan yaqinlashtirish mumkinligini ifodalasada, yaqinlashish xatoligi

Ni baholash imkonini bermaydi. Keyingi o’rganishlar ning nolga intilish tartibi, yaqinlashtiriladigan funksiyaning uzluksiz moduliga bog’liq ekanligini ko’rsatadi.
Teorema. Agar funksiya segmentda aniqlangan va uzluksiz bo’lib, esa uning Bernshteyn ko’phadi bo’lsa, u holda

Bo’ladi. Bunda funksiyaning uzluksiz moduli.
Isbot. (9) formuladan foydalanib, quyidagini topamiz.

Funksiya uzluksiz modulining ushbu

Xossasiga ko’ra

Bo’lib, natijada
Bo’ladi.
Endi yig’indini ko’rinishda yozib, unga koshi-Bunyakovskiy tengsizligini qo’llaymiz:
Koshi Bunyakovskiy tengsizligi
Demak,
Teorema isbot bo’ldi.
Xususan funksiya oraliqda hosilaga ega bo’lib, uchun bo’lsin. U holda, Lagranj teoremasidan foydalanib quyidagini topamiz:
Demak bu holda
Bo’ladi.

Faraz qilaylik, ₀( ), ₁( ), …, _n( ) yetarlicha siliq va hisoblash uchun qulay bo`lgan chiziqli erkli funksiyalar sistemasi bo`lsin. Bu fuksiyalardan tuzilgan

	= 0 0	+ 1 1 + … + n		(2.1.1)
chiziqli kombinassiya	(	– doimiy sonlar) umumlashgan ko`phad
deyiladi. Berilgan	funksiyani	interpolyatsiyalash	yo`li bilan	orqali

taqribiy ravishda almashtirish yo`li mavjud. Ammo shuni ham ta’kidlab o`tish lozimki, qator masalalarda funksiyaning bunday taqribiy tasvirlanishi maqsadga muvofiq bo`lavermaydi. Birinchidan, tugunlar soni ko`p bo`lsa, u holda interpolyasion ko`phadlarning ham darajasi ortib boradi, lekin bu yaqinlashishning sifati har doim ham yaxshi bo`lmasligi mumkin. Ikkinchidan, funksiyaning tugun nuqtalardagi qiymati biror tajribadan aniqlangan bo`lishi ham mumkin, u holda tabiy ravishda bu qiymatlar tajriba xatosiga ega bo`lib, u interpolyatsion ko`phadga ham tasir qiladi va shu bilan funksiyaning haqiqiy holatini ham buzib ko`rsatadi.

Qandaydir ma’noda bu kamchiliklardan holi bo`lgan o`rta kvadratik yaqinlashuvchi ko`phadlarni tuzish bilan shug`ullanish maqsadga muvofiqdir. Shunday qilib, biz funksiyalar uchun o`rta kvadratik ma’noda yaqinlashish masalasi qo`yilishining maqsadga muvofiq ekanligiga ishonch hosil qildik. Bu masala quydagidan iboratdir: [ ] oraliqda aniqlangan funksiya uchun (2.1.1) ko`rinshdagi yaqinlashuvchi shunday ko`phad topilsinki,

(2.1.2)

ifoda mumkin qadar eng kichik qiymatni qabul qilsin.

Agar (2.1.2) integral kichik qiymatni qabul qilsa, bu shuni bildiradiki, [ ]oraliqning ko`p qismida va <sub>m</sub> bir-biriga yaqin. Shunga qaramasdan ayrim nuqtalar atrofida yoki bu oraliqning ba’zi kichik qisimlarida <sub>m</sub> ayirma nisbatan yetarlicha kata bo`lishi ham mumkin.

Quydagi

miqdor ning dan o`rta kvadratik og`ishi deyiladi va ni bilan yaqinlashishda o`rta kvadratik ma’nodagi xatoni bildiradi.

Agar ni o`rta kvadratik ma’noda bilan yaqinlashtirishda qandaydir sababga ko`ra qaralayotgan oraliqning biror qismida uning boshqa qismiga nisbatan aniqroq yaqinlashtirish kerak bo`lsa, u holda ko`pincha quydagicha ish tutiladi: vazn deb ataluvchi maxsus ravishda tanlab olingan manfiy
bo`lmagan funksiya olinib, (2.1.2) o`rniga ushbu

integralning eng kichik qiymatini qabul qilishi talab qilinadi. Bu yerda shunday tanlangan bo`lishi kerakki, agar oraliqning biror nuqtasi atrofiga yaqinlashish aniqligi boshqa nuqtalarga nisbatan yaxshiroq bo`lishi talab qilinsa, shu nuqta atrofida kattaroq qiymatga ega bo`lishi kerak. Masalan [-1,1]

oraliqda funksiyani funksiya bilan yaqinlashtirishda aniqligining oraliqning chetki nuqtalari atrofida yuqori bo`lishini istasak, deb olish mumkin.

Agar funksiyaning anailtik ko`rinishi o`rniga, uning faqat ta , , …, nuqtalardagi qiymatlarigina ma’lum bo`lsa, u holda (2.1.2) integral o`rniga ushbu

(2.1.4)
yig`indining mumkin qadar kichik qiymat qabul qilishligi talab qilinadi. Bu holda

miqdor o`rta kvadratik og`ish deyiladi. O`rta kvadratik yaqinlashtirish usuli eng kichik kvadratlar usuli ham deyiladi.

Agar bordiyu, larning aniqligi bir xil bo`lmasa, masalan, har xil aniqlikka ega bo`lgan turli asboblar yordamida hisoblangan bo`lsa, u holda biz aniqligi kata bo`lgan qiymatlarga ko`proq ishonch bilan kattaroq “vazn” berishimiz kerak. Buning uchun nuqtadagi vazn deb ataluvchi maxsus tanlangan sonlarni olib, (2.1.4) yig`ndi o`rniga ushbu

(2.1.5)