Mavzu: Funksiyalarni trigionometrik ko'pxad bilan yaqinlashtirish Reja

vazniy yig`ndini minimallashtirishimiz kerak. Bu vaznlar odatda ularning yig`ndisi birga teng bo`ladigan qilib tanlanadi:

Agar (2.1.3) bilan aniqlangan o`rta kvadratik og`ish kichik bo`lsa, [a, b]

oraliqning aksariyat nuqtalarida ayirma qiymati kichik bo`ladi. Lekin shunga qaramasdan ayrim kichik oraliqlarda bu miqdor katta bo`lishi ham mumkin. Aniqrog`i, faraz qilaylik, [a,b ] oraliqda ning ekstremumlari soni chekli bo`lib, ixtiyoriy musbat son bo`lsin. Faraz qilaylik, o`zaro kesishmaydigan [a, b] dan olingan shunday oraliqchalar bo`lsinki,

tengsizlik qanoatlantiradigan nuqtalar shu larga tegishli bo`lib, shu

oraliqchalar uzunliklar yig`ndisi bo`lsin. Agar bo`lsa, u holda

bo`ladi. Bunda esa

Demak, agar yetarlicha kichik bo`lsa, [a, b] oraliqning o`lchovi istalgancha kichik dan ortmaydigan nuqtalar to`plamidan tashqari boshqa ham nuqtalarda

tengsizlik o`rinli bo`ladi. Lekin ayrim hollarda yaqinlashtiruvchi ko`phadga

og`irroq shart qo`yiladi, chunonchi, [a, b] oraliqning barcha nuqtalarida ning dan og`ishi berilgan miqdordan kichik bo`lishi talab qilinadi. Biz

funksiya [a,b] da uzliksiz va algebraik ko`phad bo`lgan holni ko`ramiz.

Faraz qilaylik, darajasi n dan ortmaydigan

algebraik ko`phadlarning to`plami bo`lsin. Agar funksiya [a, b] oraliqda

uzluksiz va bo`lsa, uholda ning dan [a, b] oraliqda og`ishini, ya’ni

ni orqali belgilaymiz. Bu miqdor ko`phad koeffisientlari ning funksiyasi bo`lib, u manfiy emas hamda bu miqdor manfiy bo`lmagan aniq quyi chegaraga ega bo`ladi:

Agar shunday ko`phad mavjud bo`lib, tenglik bajarilsa,

u holda ko`phad eng yaxshi tekis yaqinlashuvchi ko`phad va eng

kichik og`ish yoki ning n-darajali ko`phad bilan eng yaxshi yaqinlashishi deyiladi.

EHM larda funksiyalarni hisoblash uchun standart programalar tuzishda

berilgan uchun berilgan dan kichik bo`ladigan ko`phadni topish talab qilinadi.

Yuqorida ko’rdikki agar funksiya da uzluksiz, bo’lakli-uzluksiz differensiallanuvchi bo’lsa, uning Fure qatori shu oraliqda tekis yaqinlashuvchi bo’ladi, ya’ni qismiy yig’indilar ketma-ketligi shu funksiyaga tekis yaqinlashadi. Tekis yaqinlashuvlikning ta’rifiga binoan, olinganda ham shunday topiladiki, uchun

bo’ladi. Bu esa yuqorida aytilgan shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyalarni istalgan aniqlikda trigonometrik ko’phad bilan taqriban almashtirish mumkinligini ifodalaydi.
Ammo, 14-bobda keltirilgan Veyershtrass teoremasiga ko’ra ixtiyoriy da uzluksiz funksiyani istalgan aniqlikda algebraik ko’phad bilan taqriban almashtirish mumkin edi.
Tabiiyki (1) o’rinli bo’lishi uchun ning da uzluksiz bo’lishining o’zi yetarli bo’lmasmikin, degan savol tug’iladi. Bu savolga javob salbiydir.hattoki,uzluksiz funksiyaning Fure qatori, umuman aytganda, yaqinlashuvchi bo’lmay qolishi ham mumkin ekan. Demak, Fure qatorlari qismiy yig’indilaridan, funkisiyalarning bu, kengroq sinfi uchun taqribiy hisoblash apparatlari sifatida foydalana olmas ekanmiz. Quyida biz da uzluksiz ixtiyoriy funksiya uchun shunday trigonometrik ko’phadlar ketma-ketligini tuzamizki,

bo’ladi.Shuni ham ta’kidlaymizki, bu trigonometrik ko’phadlar Fure qatorlari qismiy yig’indilari yordamida osongina tuziladi.
Feyer yig’indisi. Funksiya oraliqda berilgan va uzluksiz bo’lsin.Bu funksiya qatorining qismiy yig’indisi

dan foydalanib ushbu

yig’indini tuzamiz.Odatda ushbu yig’indi funksiyaning Feyer yig’indisi deb ataladi.
Funksiyaning feyer yig’indisi trigonometrik ko’phad bo’ladi. Haqiqatdan ham, Fure qatori qismiy yig’indilarining ifodalari
,


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ga ko’ra



bo’ladi.
Agar avvalda keltirilgan tenglik

ni e’tiborga olsak, unda dan

bo’lishi kelib chiqadi.

munosabatdagi ning o’niga uning ifodasi

ni qo’yib quyidagini topamiz:



Integral ostidagi yig’indi uchun

munosabat o’rinli. Haqiqatan ham,

Natijada funkisiyaning Feyer yig’indisi ushbu

ko’rinishni oladi. Bu va yuqoridagi tenglikdan

bo’lishi kelib chiqadi.
Teorema. (Feyer teoremasi). funksiya oraliqda berilgan, uzluksiz va bo’lsin. U holda

bo’ladi. Isbot. tenglikning har ikki tomonini ga ko’paytirsak, u holda

bo’ladi. Bu va munosabatdan foydalanib, ushbuni topamiz:

Modomiki shartga ko’ra funksiya da uzluksiz ekan, u Kantor teoremasiga binoan tekis uzluksiz bo’ladi. Demak, son olinganda ham, shunday topiladiki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi
uchun

bo’ladi. Shu topilgan sonni olib (uni deb hisoblash mumkin), integralni ikki qismga ajratamiz:

bunda


Endi va integrallarni baholaymiz. Yuqoridagi munosabatni e’tiborga olib, quyidagini topamiz:


Demak, olinganda ham shunday topiladiki, barcha lar uchun
bo’ladi.
Endi integralni baholaymiz


bunda Ravshanki,
da
bo’ladi. Natijada uchun ushbu bahoga ega bo’lamiz. Agar natural n sonni qilib olinsa, unda va , demak, bo’ladi.
Shunday qilib, olinganda ham shunday topiladiki, uchun bo’ldi. Va shu va larga ko’ra shunday topiladiki, uchun bo’ldi. Bu tasdiqlarni birlashtirsak, uchun shunday topiladiki , uchun bo’ladi.
Demak, . Teorema isbot bo’ldi.
Natijada, funksiyani trigonometrik ko’phad bilan yaqinlashtirish haqidagi quyidagi teoremaga kelamiz.
Teorema (Veyershtrass teoremasi): Agar funksiya da berilgan, uzluksiz va bo’lsa, u holda shunday trigonometrik ko’phad topiladiki,

bo’ladi.