Mavzu: Funksiyalarning to’liq va to’liqmas sistemalari

I kkilik qonuni.


Bir qiymatli va ko‘p qiymatli funksiyalar. Agar X to‘plamdagi har bir x songa biror qoida yoki qonunga ko‘ra Y to‘plamdan bitta у son mos qo‘yilsa, u holda у funksiya bir qiymatli deyiladi, ya'ni V x ,,x 2 e X , x } Ф Х 2 => /( x ,) * f ( x 2). Agar X to‘plamdagi har bir x songa biror qoida yoki qonunga ko‘ra Y to‘plamdan bittadan ortiq yoki cheksiz ko‘p у son mos qo‘yilsa, u holda funksiya ко ‘p qiymatli deyiladi. Masalan: 1) y = ±y[x — ikki qiymatli funksiya; 2) у =Arcsinx — ko‘p qiymatli funksiya; 3) y = 3 x + 2 — bir qiymatli funksiya. 4. Chegaralangan va chegaralanmagan funksiyalar. y = f(x ) funksiya X to‘plamda aniqlangan bo‘lsin. 6- ta‘rif. Agar shunday o ‘zgarmas A/(o‘zgarmas m) son topilib, istalgan x e X uchun f(x ) < M (f (x) > m) tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, /(x ) funksiya X to‘plamda yuqoridan (quyidan) chegaralangan deyiladi, aks holda esa funksiya yuqoridan (quyidan) chegaralanmagan deyiladi
Monoton funksiyalar quyidagi xossalarga ega: 1. Ikkita o'suvchi (kamayuvchi) funksiyaning yig‘indisi yana o'suvchi (kamayuvchi) funksiya bo'ladi. 2. Ikkita musbat o‘suvchi (kamayuvchi) funksiyalaming ko‘- paytmasi yana o'suvchi (kamayuvchi) bo‘ladi. 3. Agar f(x ) funksiya o‘suvchi bo'lsa, —f ix ) funksiya kamayuvchi bo'ladi va aksincha. 4. Agar f(x ) funksiya o'suvchi bo'lib, istalgan x e X uchun /( x )*0 bo'lsa, funksiya kamayuvchi bo'ladi. 5. Agar f(x ) funksiya qat'iy o'suvchi bo'lsa, x = f~ x(y) teskari funksiya (3-§ ning 6- bandiga q.) ham bir qiymatli va qat'iy o'suvchi bo'ladi. 6. Agar x = /(/), te [a;|3] da o'suvchi, у =Д х) funksiya esa |/(a); /(p )] da o'suvchi bo'lsa, у = F ( f (x)) funksiya ham [ot;(B] da o'suvchi bo'ladi. 7. Agar x = /( 0 , /e[a;P] da kamayuvchi, у =F(x) flinksiya esa [/(a); / (p)] da kamayuvchi bo'lsa, y = F ( f ( x ) ) funksiya ham [ct;P] da o'suvchi bo'ladi. 8. Agar x = / (/),/e [a;P] da o'suvchi, у = /(x) funksiya esa [/(a); / (P)] da kamayuvchi bo'lsa, y —F ( f (x)) funksiya ham [a;P] da kamayuvchi bo'ladi. 9. Agar < f (x) < у (x) tengsizlik o'rinli bo'lsa,
< /( /(x)) < ;+«>) uchun yagona yechimga ega bo'lsa, (— +») da у = /(x) monoton bo'lmagan funksiya ham teskari funksiyaga ega bo'ladi. Funksiyani tekshirishda uning monotonlik oraliqlarini topish muhim rol o'ynaydi. Funksiyaning monotonlik oraliqlarini topish uchun quyidagi tasdiqlardan foydalanamiz: 1. Agar funksiya [a;p] da qat'iy monoton bo'lsa, x ning har bir belgilangan qiymatiga funksiyaning bitta qiymati mos keladi. 2. Agar y~f(x) funksiya [a;P] kesmada musbat va o'suvchi bo'lsa, x ning o'sishi bilan у = /(x) funksiyaning grafigi Ox o'qidan uzoqlashadi. 3. Agar>’=/(x) funksiya [a;P] kesmada musbat va kamayuvchi bo'lsa, x ning o'sishi bilan у = /(x) funksiyaning grafigi Ox o'qiga yaqinlashadi. 4. Agar у = /(x) funksiya [a;P] kesmada manfiy va kamayuvchi bo'lsa, x ning o'sishi bilan у = f (x) funksiyaning grafigi Ox o'qidan uzoqlashadi. 5. Agar y = f{ x ) funksiya [a;p] kesmada manfiy va o'suvchi bo'lsa, x ning o'sishi bilan [a;P] funksiyaning grafigi Ox o'qiga yaqinlashadi.