a
|
e
|
|
ax
|
|
a
|
|
x
|
|
|
|
|
|
2. a
|
|
|
va a 1
|
|
|
dan aa 1
|
e
|
|
|
|
|
|
hosil bo`ladi. Lekin e
|
|
. Shu sababli
|
|
|
y
|
a
|
|
y
|
|
e
|
a
|
|
|
|
|
|
|
bo`lib, bundan y a 1 ga kelamiz.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a
|
y
|
e
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Teoremaning ikkinchi qismiga muvofiq, a 1
|
|
|
11 ,a 1
|
|
|
21
|
,...,a 1
|
|
n1 dan
|
|
|
|
|
a
|
a
|
a
|
1
|
2
|
n
|
|
|
|
(a 1 a 1
|
...a1 )
|
|
11
|
|
21 ...
|
|
n1
|
a 1
|
a 1
|
...a 1
|
ni hosil qilamiz. Endi a n
|
(a)n
|
|
|
|
a
|
a
|
a
|
12
|
|
|
|
n
|
|
|
|
|
|
|
1
|
2
|
|
|
|
|
n
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tenglikda
|
|
|
a
|
o`rniga
|
a 1
|
ni
|
olsak
|
|
va
|
a1
|
|
1
|
|
|
ni
|
|
nazarda
|
tutsak,
|
|
|
a
|
|
|
|
(a1 )n (a1 )n (
|
|
1 )n
|
|
|
|
yoki
|
|
an
|
|
n (a)n
|
|
kelib
|
|
chiqadi.
|
Yana
|
a
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a
|
|
|
a0 (a0 ) a0 ning e e ekanini hisobga olsak, istalgan n butun son uchun
a n (a)n
tenglik o`rinli degan xulosaga kelamiz.
A gruppaning A dagi e birlik elementga akslanuvchi hamma elementlari to`plamini H bilan belgilaymiz.
2-teorema. H qism to`plam A gruppaning normal bo`luvchisidir.
Isboti. 1. Avval H ning A da qism gruppa tashkil etishini ko`rsatamiz; h, h H (hh H ) , chunki h e va h e dan hh ee e kelib chiqadi, bu
hh H
|
ekanini
|
bildiradi.
|
So`ngra
|
h H (h 1 H ) ,
|
chunki
|
|
|
h
|
|
|
|
|
dan
|
e
|
h 1
|
|
1
|
|
|
|
hosil bo`lgani uchun h1 H dir.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e
|
e
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. endi
|
H ning
|
A da normal bo`luvchi ekanini isbotlaymiz. aHa 1 va a1 Ha
|
sistemalarning har
|
qaysisi
|
H
|
ga
|
qarashli,
|
bunda
|
a A .
|
Haqiqatan,
|
bu
|
sistemalarning istalgan aha1
|
va
|
a1ha elementlari uchun
|
aha 1
|
|
|
|
|
|
|
1
|
|
|
va
|
a
|
e
|
a
|
e
|
a 1ha
|
|
1
|
|
|
|
|
|
|
bo`lganligidan aha 1 , a 1ha H
|
dir. Shu sababli
|
|
aHa 1 H
|
va
|
a
|
e
|
a
|
e
|
|
a1 Ha H . Ikkinchi munosabatni chapdan a ga va o`ngdan a 1 ga ko`paytirib,
H aHa 1
|
ni hosil qilamiz. Endi aHa 1 H va H aHa 1 munosabatlardan
|
H aHa 1
|
kelib chiqadi. Buni o`ngdan a ga ko`paytirish bilan Ha aH ni topamiz.
|
normal bo’kuvchi A A gomomorfizm yadrosi deyiladi. 3-teorema. A gruppani H yadro bo`yicha
A H Ha Hb Hc Hd ...
|
(1)
|
qo`shni sistemalarga yoysak:
har bir qo`shni sistemadagi hamma elementlar A ning bitta elementiga akslangani holda turli sistemalardagi elementlar A ning turli elementlariga akslanadi.;
(1) sistemalar orasida A ning istalgan g elementiga akslanuvchi elementlardan tuzilgan Hg sistema mavjud bo`ladi.
Isboti. Ha sistema (1) ning ixtiyoriy sistemasi bo`lib, a
|
a
|
|
A
|
desak,
|
|
istalgan
|
ha Ha
|
element uchun ham ha
|
|
bo`ladi,
|
h
|
|
|
va
|
a
|
|
|
dan
|
a
|
e
|
|
a
|
ha
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sistema
|
|
elementga
|
|
Do'stlaringiz bilan baham: |
