Mavzu: «Integral va uning xossalari» mavzusini o’qitish usullari

Ta’rif. Aytaylik, y=f(x) x[a;b] manfiy bo`lmagan, uzluksiz funksiya bo`lsin. Bu holda, agar va ketma-ketliklar limitlari mavjud bo`lib, bir-biriga teng bo`lsa, limitning qiymati egri chiziqli tra’etsiyaning yuzi deyiladi.
Integral yig`indi. Aniq integralning ta’rifi
Endi [x<sub>0</sub>;x<sub>1</sub>],[x<sub>1</sub>;x<sub>2</sub>],...,[x<sub>n-1</sub>,x<sub>n</sub>] kesmalarning har birida bittadan nuqta olamiz. Bu nuqtalarni bilan belgilaymiz.
Bu nuqtalarni har birida qiymatlarni hisoblaymiz.
yig`indini tuzamiz.
Bu yig`indi [a;b] kesmada f(x) funksiyaning integral yig`indisi deb ataladi. [x_i-1;x_i] kesmaga tegishli bo`lgan har qanday nuqta uchun va barcha bo`lganda , demak, yoki
Bundan ko`rinadiki, yuzi ga teng bo`lgan shakl ichki va tashqi chizilgan siniq chiziq orasida yotuvchi siniq chiziq bilan chegaralangan degan ma’noni beradi. yig`indining qiymati [a;b] kesmani [x<sub>i-1</sub>;x<sub>i</sub>] kesmalarga ajratish usuliga hamda hosil qilingan kesmani ichida nuqtalarni tanlab olishga bog`liq. Endi max [x_i-1;x_i] bilan kesmalarni eng uzunini belgilaymiz va max[x_i-1;x_i] nolga intiladigan holni qaraymiz. Har bir ajratish uchun ning mos qiymatini tanlab integral yig`indisini tuzamiz.
intilganda bo`ladigan ketma-ketlikni qaraymiz va u biror limitga ega bo`lsin.
1-Ta’rif. Agar [a;b] kesma shartni qanoatlantiradigan har qanday bo`laklarga ajratilganda va [x_i-1;x_i] kesmada ni istalgancha tanlab olganda integral yig`indi birgina limitga intilsa, u holda,bu limit [a;b] kesmada f(x) funksiyaning aniq integrali deb ataladi va bilan belgilanadi. Shunday qilib, ta’rifga ko`ra:
a-son integralning quyi chegarasi b-son esa integralning yuqori chegarasi deyiladi. [a,b] integrallash kesmasi, x esa integrallash o`zgaruvchisi deyiladi.
2-Ta’rif. Agar f(x) funksiya uchun yuqoridagi limit mavjud bo`lsa, u holda funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi funksiya deyiladi.
Agar integral ostidagi y=f(x) funksiyaning grafigini chizsak bo`lgan holda integralning son qiymati y=f(x) egri chiziq, x=a, x=b to`g`ri chiziqlar hamda Ox o`qi bilan chegaralangan egri chiziqli tra’etsiya yuziga teng.