Mavzu: Integrallarni taqribiy yechish

Misol. integralni n=5 da taqribiy hisoblang.
Yechish.




=
Simpson (parabolalar) formulasi
integralni taqribiy hisoblash talab qilinsin. Buning uchun ni n=2m sondagi juft bo`lgan nuqtalar orqali bo`lakchalarga ajratib, f(x) funksiyaning bu nuqtalardagi qiymatlarini deylik.
Endi har bir oraliqga mos kelgan y= f(x) funksiya grafigini parabola yoyi bilan almashtiraylik. U holda egri chiziqli trapesiyaning yuzi taxminan yušoridan parabola yoylari bilan almashtirilgan bo`lakchalar yuzalarining yig`indisiga teng bo`ladi. Yuqoridan parabola yoylari bilan chegaralangan shakllar yuzalarini hisoblab qo`shsak quyidagi formula kelib chiqadi:



yoki n=2m bo`lgani uchun
(4)
(4) ga Simpson yoki parabolalar formulasi deyiladi.
Misol. integralni n=2m=8 bo`lganda hisoblang.
Yechish.





=
demak Simpson formulasidagi xatolik juda kam bo`lar ekan.
Eslatma. integralni (1) yoki (2) to`g`ri to`rtburchaklar formulasi yordamida taqribiy hisoblaganda quyidagi xatolik formula bilan hisoblanadi. Bu yerda M₁ ning kesmadagi eng katta qiymati.
integralni (3) trapesiyalar va (4) Simpson formulalari bilan taqribiy hisoblagandagi qo`yiladigan xatoliklar mos ravishda quyidagi formulalar bilan hisoblanadi:



M₂ ning kesmadagi eng katta qiymati, M₃ esa ning kesmadagi eng katta qiymati.

Xosmas integrallar

1. Chegarasi cheksiz bo`lgan integral

Biz aniq integralda chegaralari chekli bo`lib, integral ostidagi funksiya uzluksiz va chegaralangan bo`lsin degan edik. Endi bu shartlarning bajarilmagan hollarini ko`raylik.

f(x) funksiya oraliqda aniqlangan, uzluksiz va uning ixtiyoriy chekli qismida integrallanuvchi bo`lsin. Ixtiyoriy B> sonni olamiz. Shartga ko`ra f(x) funksiya da integrallanuvchi. Demak integral V ning funksiyasi bo`ladi F(B)= .

Y 0 x=a x=B x

Ta`rif. Agar da chekli limit mavjud bo`lsa, bu limitga f(x) funksiyaning oraliqdagi xosmas integrali deyiladi va ko`rinishda yoziladi.
Demak ta`rifga ko`ra = bo`ladi. Bu holda xosmas integralni mavjud yoki yaqinlashuvchi deyiladi.
Agar - chekli limit mavjud bo`lmasa, u holda xosmas integralni mavjud emas yoki uzoqlashuvchi deyiladi.

Agar f(x)>0 desak xosmas integralning geometrik ma`nosi chiziqlar orasidagi cheksiz soha yuzini ifodalashi chizmadan ko`rinadi. Хuddi shuningdek integralni ko`rsak =

Y x x=a 0 x=b

Agar xosmas integral ko`rinishda bo`lsa, u holda quyidagi ikkita xosmas integrallar yig`indisi sifatida qaraladi
= +


Agar o`ng tomondagi xosmas integrallarning har biri mavjud bo`lsa, u holda chap tomondagi integral mavjud bo`ladi.
Misol.

Demak xosmas integral yaqinlashuvchi ekan.

2. Chegaralanmagan (uzlukli) funksiyadan olingan

xosmas integral


f(x) funksiya oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo`lib, uning har qanday qismida integrallanuvchi bo`lsin f(x) funksiya x=b nuqtada aniqlanmagan yoki uzulishga ega. Bu holda
=F(c) integralni ko`rish mumkin.

Ta`rif. Agar chekli limit mavjud bo`lsa, bu limitga f(x) funksiyaning oraliqdagi xosmas integrali deyiladi va = ko`rinishda yoziladi.

y у=f(x) (x) 0 x=a x=c x= x

O`ng tomondagi limit mavjud bo`lsa, xosmas integralga yaqinlashuvchi (yoki mavjud ) deyiladi. Agar o`ng tomondagi limit mavjud bo`lmasa yoki uzoqlashuvchi bo`lsa xosmas integralga uzoqlashuvchi deyiladi.
Agar f(x) funksiya oraliqda aniqlangan, uzluksiz va uning ixtiyoriy qismida integrallanuvchi bo`lsa
=
tenglik o`rinli bo`ladi.
Agar x=d ( nuqta f(x) funksiyaning uzilish nuqtasi bo`lsa


= +
bo`lib, chap tomondagi xosmas integrallar mavjud bo`lsa o`ng tomondagi integral mavjud bo`ladi.
1-teorema. Agar f(x) va funksiyalar da uzluksiz bo`lib, tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda xocmas integral yaqinlashuvchi bo`lsa xosmas integral integral ham yaqinlashuvchi, agar uzoqlashuvchi bo`lsa integral ham uzoqlashuvchi bo`ladi.
2-teorema. Agar funksiyalar da uzluksiz bo`lib, tengsizlikni qanoatlantirib va x=b nuqtada uzlukli bo`lsalar, u holda integral yaqinlashuvchi bo`lsa, integral ham yaqinlashuvchi bo`ladi, agar uzoqlashuvchi bo`lsa, integral ham uzoqlashuvchi bo`ladi.
Misol. ( o`zgarmas son).
f(x)= funksiya x=0 nuqtada uzulishga ega
=


1. Agar f(x) funksiya [х₀, x] oraliqda uzluksiz bo`lsa, u holda boshlang`ich funksiyani quyidagicha tasvirlash mumkin:
(12.1)
Demak boshlang`ich funksiyani topish integralning qiymatlarini topish bilan teng kuchlidir. Volterra integral tenglamasi

da ushbu
(12.2)
integral bilan ish ko`rishga to`g`ri keladi. Biz faqat boshlang`ich funksiyani hisoblash bilan shug`ullanamiz. Integralning yuqori chegarasi o`zgaruvchi bo`lgani va y(x) ning ko`p nuqtalardagi qiymatlarini topishga ehtiyoj tug`ilishi tufayli aniqmas integrallarni hisoblash masalasi o`ziga xos bo`lib, ular uchun maxsus usullar yaratishga to`g`ri keladi.
Faraz qilaylik, (12.1) integralning qiymatini argumentning х= х<sub>0</sub>, х,, х<sub>2</sub>, ... qiymatlari uchun hisoblash talab qilinsin. Aytaylik, х= х<sub>0</sub>, х,, х<sub>2</sub>, ... topilgan bo`lib, у_п+1 ni topish kerak bo`lsin. Buning uchun у(х) ning avval topilgan mavjud qiymatlaridan foydalanish mumkin. Biz avval f(x) formula yordamida (ya`ni uning istalgan qiymatini topish mumkin bo`lgan) aniqlangan holni qaraymiz. Paragraf oxirida esa f(x) jadval bilan berilgan holni ko`rib o`tamiz. Ko`pincha f(x) ning qiymatini kerakli x nuqtalarda hisoblab, у_п+1 ni istalgan aniqlikda topish mumkin bo`ladi. Bu yerda y(x) ning ko`p qiymatlarini topish lozim bo`lgani uchun f ning har bir qiymatidan y(x) ning bir necha qiymatlarini topishda foydalanish mumkin. Buni quyidagi misolda ko`rish mumkin: у_п+1 ni hisoblashda
(12.3)
tenglikdan foydalanish mumkin. O`ng tomondagi integralni hisoblashdan aniq integral uchun qurilgan formulalarning birortasidan foydalanish mumkin. Lekin bu usul quyidagi ko`rinib turgan nuqsonga ega: f ning qiymatlari, agar ular [х_п, х_n+1]
ning chetki nuqtalariga mos kelmasa, faqat y_n+1 ni hisoblashda foydalanib, avvalgi у_п, у_п1, ... va keyingi у_п+2, y_n+v ... larni hisoblashda qatnashmaydi.
Kelgusida f ning qiymatlarini hisoblashning bir necha qadamlarida ishlatishga imkon beradigan usullar haqida so`z yuritiladi.
Aniqmas integralni topishda foydalaniladigan integrallash qoidasi muvaffakiyatsiz tanlangan bo`lsa, hisoblash xatolari yig`ilib bir necha qadamdan keyin keraklisidan katta bo`lib ketishi mumkin. Xuddi shu holni misolda ko`raylik. Faraz qilaylik, у<sub>п+1</sub> ni hisoblash uchun oldingi у<sub>п-х</sub> va у<sub>п</sub> qiymatlar hamda hosilaning ikkita у`_n-1 = f_n-1 va у`<sub>п</sub> = f qiymatlari asosida interpolyatsiyadan foydalanaylik. Bu yerda ikkita ikki karrali tugunlarga ega bo`lganimiz uchun Ermit formulasidan foydalanishimiz mumkin va qoldiq hadni tashlab quyidagi integrallash qoidasiga ega bo`lamiz:
(12.4)
Bu tenglik barcha uchinchi tartibli ko`p hadlar uchun aniqdir. Bu formula bir marta qo`llashda yaxshi natija beradi, lekin ko`p marta qo`llash uchun esa xato tez ortib borishi sababli yaroqsizdir.
Faraz qilaylik, f ning barcha qiymatlari va у<sub>n-1</sub> aniq hisoblangan bo`lib, у_п ni hisoblashda xatoga (masalan, yaxlitlash hisobidan) yo`l qo`yilgan bo`lsin. Birinchi bobda hisoblash jarayoni uchun ko`rganimizdek bu xato у_п+1, у_п+2, у_п+3, ... larni topishda ularga mos ravishda, kabi o`sa borib noturg`unlik yuz beradi. Keyingi punktda y_n+k ni topishda bu xato qonuniyat bilan o`sishini ko`ramiz. Bundan (12.4) formulaning hisoblash uchun yaroqsizligi ma`lum bo`ladi. Uning o`rniga, (12.3) integralni trapetsiya formulasi bilan hisoblasak formulaga ega bo`lamiz. Bu formulaning algebraik aniqlik darajasi birga teng bo`lsa ham, ko`p martalab qo`llash uchun qulaydir, chunki xato jamlanmaydi. Ko`p martalab qo`llaniladigan qoidalarning turgunliklariga katta e`tibor berish lozim. Bu masalalarni keyingi punktda ko`rib o`tamiz.
2. Hisoblash xatosi va yaqinlashish. Faraz qilaylik, (12.1) integralning qiymatini h>0 qadamli turda hisoblash uchun
(12.6)
formula tanlangan bo`lsin. Bu formula bilan hisoblashda у<sub>л+1</sub> ni topish uchun y<sub>n</sub>, y<sub>n-1,</sub> ..., у<sub>п-p</sub> va f ning т = т(п) ta qiymatlari ma`lum deb qaraymiz. Agar bu formulada taqribiy qiymat y_n+1o`rniga aniq qiymat y(x<sub>n +1</sub>) ni qo`ysak, tenglik bajarilmaydi va tenglik o`rinli bo`lishi uchun (12.5) ning o`ng tomoniga formulaning xatosi deb ataluvchi qo`shimcha r_п hadni qo`shish kerak:
(12.6)
Odatda hisoblashlar yaxlitlash bilan bajariladi. Shuning uchun ham n- qadamdagi yaxlitlash xatosini - orqali belgilasak (12.5) formula o`rniga ushbu
(12.7)
hisoblash formulasiga ega bo`lamiz.
Bundan keyingi asosiy vazifamiz у_к taqribiy qiymatning

xatosini o`rganishdan iboratdir. Buning uchun (12.7) ni (12.6) dan ayirib, xato uchun
(12.8)
o`zgarmas koeffisiyentli bir jinsli bo`lmagan chekli-ayirmali tenglamani hosil qilamiz. Biz bundagi у<sub>к</sub>(к = ) taqribiy qiymatlarning xatolari y<sub>к</sub>(к = ) ma`lum deb qaraymiz. Qolgan barcha _к (к > р) ketma-ket ravishda (12.8) formuladan aniqlanadi. (12.8) da n = p deb olsak _p+1 dastlabki _к(к = ) va r_p + _p larning chiziqli kombinatsiyasi sifatida topiladi. Bu natijadan foydalanib va (12.8) da п = р deb olib _p+1 ni dastlabki _к(к = ) va r_p + _p larning chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalanadi va hokazo. Shunday qilib, (12.8) tenglama yordamida п> р uchun _к (к р)va r_p + _p, , ..., , r_n-1 + _n-1 larning bir jinsli funksiyasi kabi ifodalanadi:

Ko`rinib turibdiki, Г funksiya (12.8) tenglamaga mos
(12.10)
bir jinsli tenglamaning <sub>k</sub>= `_к(к = ) dastlabki shartlarga mos keluvchi xususiy yechimidir. Haqiqatan ham, (12.9) da barcha j = uchun r_j + _j = 0 deb olib, bu dastlabki shartlardan foydalansak, _п = Г kelib chiqadi. Shuning uchun ham Г funksiya _i ning ta`sir yoki Grin funksiyasi deyiladi. Xuddi shunga o`xshash G nolli е₀ = ... = _p =0 dastlabki shartni qanoatlantiradigan

tenglamaning yechimidir. Haqiqitan ham, (12.9) da, е₀= ... = _p =0 , r_j + _j = deb olsak, _п = G kelib chiqadi. G funksiya r_i+ _i ozod hadning ta`sir funksiyasi deyiladi. Endi ekanini ko`rsatamiz. Haqiqatan ham, (12.11) tenglama faqat n = i bo`lganda bir jinsli bo`lmagan hamda n < i va n < i uchun bir jinsli tenglama bo`lib, G quyidagi

masalaning yechimidir. Bu masala Г ni aniqlaydigan masaladan faqat shu bilan farq qiladiki, bunda n o`q bo`yicha i-р+1 birlikka surilgandir, demak,
Bundan foydalanib, _п ni quyidagicha yozamiz:
(12.12)
yoki
(12.13)
bu yerda
(12.14)
Ko`rinib turibdiki, Е<sub>п</sub><sup>(i)</sup> (12.10) bir jinsli tenglamaning dastlabki shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi bo`lib, va Е ⁽_п³⁾ lar mos ravishda L(E_n)= _n va L(E_n)=r_п bir jinsli bo`lmagan tenglamalarning nolli Е_к = 0(к = ) dastlabki shartlarni qanoatlantiradigan yechimidir.
Endi h 0 da y_n(n = ) taqribiy yechimlarning у(х_п) aniq yechimga tekis yaqinlashish shartini aniqlaymiz. Buning uchun ular orasidagi masofa sifatida

miqdorni olamiz. _п, _п va r_п lar o`zaro bog`liq bo`lmaganliklari sababli, , h 0 da (у, у<sub>n</sub>) 0 bajarilishi uchu h 0 da maxE<sup>(</sup><sub>n</sub><sup>k)</sup> (к =1,2,3) lar nolga intilishlari kerak.
Ishni Е<sub>п</sub> ni o`rganishdan boshlaymiz. Agar dastlabki xatolar k(к< р) absolyut qiymatlari bo`yicha chegaralagan bo`lsa, u holda (12.14) ga ko`ra

baho kelib chiqadi.
Faraz qilaylik, (12.5) formula o`zgarmas y ni aniq integrallasin va f = 0 bo`lsin. U holda bu formulaning koeffisiyentlari shartni qanoatlantirishi kerak. Bu esa _n = 1 bir jinsli L( _n)=0 tenglamaning yechimi ekanini ko`rsatadi. Bundan tashqari, y o`zgarmas va f 0 bo`lgani uchun <sub>j</sub> =r<sub>j</sub> = 0 bo`lib, (12.9) dan
kelib chiqadi. Demak, ixtiyoriy n uchun