Mavzu: Issiqlik o’tkazuvchanlik masalalarini chekli ayirmali sxemalar

To`rlar va to`r funksiyalar

Berilgan differentsial tenglamani taqribiy ifodalovchi ayirmali sxemalarni yozish uchun quyidagi ikkita amal bajarilishi kerak.

1. 
   Argumentning uzluksiz o`zgarish sohasini uning diskret o`zgarish sohasiga almashtirish kerak;
   
2. 
   Differentsial operatorni qandaydir chekli ayirmali operatorga almashtirish, bundan tashqari chegaraviy shartlar va boshlang`ich ma`lumotlar uchun ayirmali almashtirishlar tuzish kerak.
   

Bu jarayon amalga oshirilgandan keyin algebraik tenglamalar sistemasiga o`tamiz.
Uzluksiz argumentning barcha qiymatlari uchun ayirmali masalani echib bo`lmaydi. SHuning uchun bu sohada qandaydir chekli sondagi nuqtalar to`plami olinadi va faqat shu nuqtalarda taqribiy yechim izlanadi. Bunday nuqtalar to`plamiga to`r deyiladi. Nuqtalarning o`zi esa to`r tugunlari deb ataladi.
To`r tugunlarida aniqlangan funktsiyaga to`rli funktsiya deyiladi.
Shunday qilib differentsial tenglama yyechimlari fazosini to`r funktsiyalar fazosi bilan almashtirdik.
1 misol. Kesmada tekis to`r. kesmani ta teng bo`lakga bo`lamiz. to`r qadami deb ataladi. Bo`linish nuqtalari - to`r tugunlari deyiladi. Barcha tugunlar to`plami to`rni tashkil qiladi. Bu to`plamga chegaraviy nuqtalarni qo`shish mumkin, ya`ni deb belgilaymiz.
2 misol. Tekislikda tekis to`r. sohada aniqlangan ikki o`zgaruvchili funktsiyalar to`plamini qaraymiz.
x o`qining va o`qining kesmalarini mos ravishda va ta bo`laklarga bo`lamiz. bo`lsin. Bo`linish nuqtlaridan o`qlarga parallel to`g`ri chiziqlar o`tkazamiz. Natijada bu to`g`ri chiziqlar kesishishidan tugunlarni hosil qilamiz, ular to`rni tashkil qiladi.

Bu to`r va yo`nalishlar bo`yicha va qadamlarga ega.
SHunga o`xshash kesmada yoki tekislikda notekis to`rni qurish mumkin.
tekislikda chegarali murakkab ko`rinishli soha berilgan bo`lsin.

to`g`ri chiziqlar o`tkazamiz. U holda to`rni hosil qilamiz. « » bilan ichki, « » bilan esa tashqi nuqtalar belgilangan. Ichki nuqtalar to`plamini bilan, chegaraviy nuqtalar to`plamini bilan belgilaymiz. Shunday qilib to`r yo`nalishlar bo`yicha tekis, ammo soha uchun to`r esa chegara yaqinida notekis.
Uzluksiz argumentli funktsiyalar o`rniga to`r funktsiya olinadi. to`r funkiyani vektor ko`rinishda berish mumkin. Odatda to`r to`plami qadamga bog`liq bo`ladi. Mos ravishda to`r funktsiyalar ham parametrdan bog`liq bo`ladi. Agar to`r notekis bo`lsa sifatida vektor qaraladi.
Uzluksiz argumentli funktsiyalar qandaydir funktsional fazo elementlaridan iborat. to`r funktsiyalar esa fazoning elementlari. SHunday qili chekli ayirmalar usuli fazoni to`r funktsiyalarning fazosiga o`tkazadi.
fazodagi norma kabi chiziqli fazoda norma kiritiladi.
Bir qator normalarni keltiramiz

1. 
   da normaning to`r ko`rinishi:
   

yoki .

2. 
   da normaning to`r ko`rinishi:
   

yoki .
Taqribiy usullar nazariyasining asosiy e`tibori ning ga yaqinligini baholashga qaratiladi. Biroq va lar turli fazolarning vektorlaridir.
Baholashning ikkita imkoniyati mavjud:

1. 
   da berilgan funktsiya sohaning barcha nuqtalarida aniqlanadi (masalan, chiziqli interpolyatsiya yordamida). Natijada uzluksiz argumentli funktsiyani olamiz. ayirma ga tegishli bo`ladi. ning ga yaqinligi bilan xarakterlanadi, bunda - dagi norma.
   
2. 
   fazo ga akslantiriladi. Har bir funktsiyaga mos to`r funktsiyaga o`tkaziladi, ya`ni . Bunda - dan ga o`tkazuvchi chiziqli operator. Bu moslikni turli yo`llar bilan amalga oshirish mumkin ( turli operatorlarni tanlash bilan). Agar uzluksiz funktsiya bo`lsa, deyish mumkin, bu erda . Ba`zan tugunda berilgan tugunning qandaydir atrofi bo`yicha ning o`rta integral qiymati bilan aniqlanadi. Bundan keyin - uzluksiz funktsiya va barcha lar uchun bo`ladi deb faraz qilamiz.
   

to`r funktsiyaga ega bo`lib, fazoning vektori bo`lgan ayirmani hosil qilamiz. ning ga yaqinligi bilan xarakterlanadi, bunda - dagi norma. Bunda fazodagi norma normani barcha vektor uchun approksimatsiyalaydi

deb faraz qilish tabiiydir. Bu shartni va fazodagi normalarning o`zaro kelishganlik sharti deb ataymiz.
Biz bundan keyin ikkinchi yo`ldan foydalanamiz.
To‘r metodi (chekli-ayirmali metod) xususiy xosilali differensial tenglamalarni yechishning keng tarqalgan metodlaridandir.
To‘r metodining g‘oyasi. To‘r metodining bilan
(1)
tenglama uchun Dirixle masalasini yechish misolida tanishamiz. Bunda а, b, с, d, е, g koeffitsiyentlar va ozod xad chegarasi Г dan iborat bo‘lgan chekli D soxada aniqlangan ikki x1, va x2 o‘zgaruvchilarning funksiyalaridir. Bu funksiyalar ёпик, сохада аниқланган хамда да а > 0, с > 0 va g< 0 shartlarni kanoatlantiradi, deb faraz qilamiz.
Faraz qilaylik, (2.1) tenglamaning da uzluksiz va Г da berilgan qiymatlarni qabul qiladigan, ya’ni

yechimini topish talab qiilinsin, bunda uzluksiz funksiyadir.
Taqribiy yechimning sonli qiymatlarini topish uchun tekisligida
(2)
parallel to‘g‘ri chiziqlarning ikkita oilasini o‘tkazamiz. Bunda h1 va h2 mos ravishda abssissa va ordinata yo‘nalishlaridagi sadashar deyiladi. Bu to‘g‘ri chiziqlarning kesishgan nuqtalari tugunlar deyiladi, tugunlar to‘plami esa to‘rni tashkil etadi. Odatda, h₁ ва h₂ qadamlar bir-biriga bog‘liq, ravishda tanlanadi, masalan (А va qandaydir sonlar), xususiy holda h₁=h₂=h. Shuning uchun ham qaralayotgan to‘r bitta h parametrga bog‘lik, bo‘lib, qadam kichrayganda .
Agar ikkita tugun 0x₁ uqi yoki 0х₂ o‘qi bo‘ylab to‘rning shu yo‘nalishi bo‘yicha bir-biridan bir qadam uzoqlikda joylashgan bo‘lsa, ularni qo‘shni tugunlar deymiz.
Faqat G da yotgan tugunlar to‘plamini qaraymiz. Agar biror tugunning to‘rtala qo‘shni tugunlari to‘plamda yotsa, u holda bu tugunni ichki tugun deymiz. Ichki tugunlar to‘plamini to‘r soha deymiz va G_h orqali belgilaymiz. Agar tugunning hech bo‘lmaganda birorta qo‘shnisi G_h da yotmasa, u holda bu tugun chegaraviy tugun, ularning to‘plamini esa to‘r sohaning chegarasi deymiz va Г_h orqali belgilaymiz (2-chizmada ichki tugunlar 0 bilan va chegaraviy tugunlar yesa * bilan belgilangan).
Agar G_h tur soha Г_h chegarasi bilan birgalikda qaralsa, u holda u yopiq, to‘r soha deyiladi va orqali belgilanadi. Biz G_h to‘r ustida aniqlangan funksiya uchun belgilash kiritamiz va har bir tugun uchun (2.1) tenglamada qatnashadigan barcha hosilalarni bo‘lingan ayirmalar bilan kuyidagicha almashtiramiz:
(3)
(4)
(5)
(6)
bunda miqdorlar yechimning to‘rning tugunidagi taqribiy qiymatlaridir. Tenglama koeffitsiyentlarining tugundagi qiymatini belgilaymiz. Hosilalar o‘rniga (2.3)-(2.6) taqribiy qiymatlarini kuyib, natijada (2.1) differensial tenglamaga mos keladigan quyidagi ayirmali tenglamaga ega bo‘lamiz:
(7)

Bunday tenglamani xar bir ichki tugun uchun yozish mumkin. Agar (i,k) chegaraviy tugun bo‘lsa, u holda ni bu tugunga yaqinrok, bo‘lgan ning Г ustidagi qiymatiga teng deb olamiz (chegaraviy tugunlarda larning qiymatini boshqacha yo‘l bilan topishni biz keyinrok, ko‘rib chikamiz). Shunday qilib, yechimning ichki tugunlardagi qiymatini topish uchun algebrik tenglamalar sistemasiga ega bo‘lamiz. Bu sistemada tenglamalarning soni noma’lumlar soniga teng. Agar bu sistema yechimga ega bo‘lsa, u hoda uni yechib, ichki tugunlarda qidirilayotgan yechimning taqribiy qiymatiga ega bo‘lamiz.