Mavzu: Issiqlik o’tkazuvchanlik masalalarini chekli ayirmali sxemalar

4. Chekli ayirmalar usuli

Quyidagi

(20)
tenglamaning
(21)
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish talab etilgan bo`lsin.
Masalani sonli yechish izlanayotgan u(x) haqiqiy yechimning x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>,..., x<sub>n</sub> nuqtalardagi y<sub>0</sub>, y<sub>1</sub>,...y<sub>n</sub> taqribiy qiymatlarini topishdan iborat. x<sub>i</sub>, nuqtalar to`r tugunlari deb ataladi. Bir-biridan bir xil uzoqlikda joylashgan tugunlar sistemasidan hosil bo`lgan quyidagi tekis to`rni qo`llaymiz
x<sub>i</sub>=x<sub>0</sub>+ih, i=0,1,2,...,n.
Bundan
x<sub>0</sub>=a, x<sub>n</sub>=b, h=(b-a)/n.
h – kattalik to`r qadami.

Quyidagi belgilashlarni kiritamiz

p(x_i)=p_i, q(x_i)=q_i, f(x_i)=f_i,

va larni har bir ichki tugunda ayirmali markaziy hosilalar yordamida approksimatsiyalaymiz
,
Kesma oxirilarida bir tomonlama ayirmali іosilalarni qo`llaymiz

Bu formulalarni qo`llab (20), (21) berilgan masala ayirmali approksimatsiyasini hosil qilamiz:
(22)
Izlanayotgan yechimning y<sub>0</sub>, y<sub>1</sub>,…, y<sub>n</sub> taqribiy qiymatlarini topish uchun(22)
n+1 noma`lumli n+1 ta chiziqli tenglamalar sistemasini yechish zarur. Bu sistemani CHATS ni yechishning biron bir standart usullari yordamida yechish mumkin. Ammo(22) tenglamalar koeffitsientlaridan tuzilgan matritsa uch dioganallidir, shuning uchun uni yechishda progonka usuli deb ataluvchi maxsus usulni qo`llaymiz.
(22) sistemani quyidagi tarzda yozamiz
(23)
bunda <sub>0</sub>= c<sub>1</sub>h-c<sub>2</sub> , <sub>0</sub>=c<sub>2</sub> , <sub>0</sub>=s<sub>2</sub> , <sub>0</sub>=hs , <sub>I</sub>=f<sub>i</sub>h<sup>2</sup>,
, <sub>n</sub>= –d<sub>2</sub> , <sub>n</sub>=hd<sub>1</sub>+d<sub>2</sub> , <sub>n</sub>=hd.
(23) sistema yechimini quyidagi ko`rinishda izlaymiz
y_i=u_i+v_iy_i+1 , i=0, 1, . . . , n-1, (24)
bu erada u_i, v_i , i=0,1,…,(n-1) lar progonka koeffisientlari deb ataladi.
(24) ni (23) ga qo`yib u<sub>i</sub>, v<sub>i</sub> lar uchun quyidagi rekkurent formulani hosil qilamiz:
(25)
Hisoblash sxemasini bir jinsli qilish uchun
<sub>0</sub>=0, <sub>n</sub>=0,
deb olamiz.
Progonka usuli ikki bosqichdan iborat.
1) Progonkaning to`g`ri yo`li. (25) bo`yicha i indes o`zgarishining o`sib borish tartibida ketma-ket u_i, v_i koeffitsientlar

qiymatlar yordamida hisoblanadi.
2) Progonkaning teskari yo`li. (24) formula bo`yicha i indeksning kamayish tartibida ketma-ket y_n, y_n-1,…,y₀ kattaliklar aniqlanadi.
Shunday qilib _n=0, u holda v_n=0 va y_n=u_n , ya`ni progonkaning to`ғri yo`lida v<sub>i</sub> , u<sub>i</sub> kattaliklar yordami bilan y<sub>n</sub> yechim hisoblanadi.
Shunday qilib, progonka usuli bilan (24) sistemaning aniq yechimini topa olamiz, bu esa (20), (21) chegaraviy masala yechimi xatoligi faqat berilgan masala ayirmali approksimatsiya xatoligi bilan aniqlanishini va xatolik O(h) ga teng ekanligini ko`rsatadi.
(24) sistemani
(26)
ko`rinishda yozamiz, bu erda
.