Mavzu: Kompleks sohada kо‘phadlar. Kо‘phadlarning ildizi. Bezu teoremasi. Algebraning asosiy teoremasi. Kо‘phadning chiziqli kо‘payturuvchilarga ajratish. Eng sodda ratsional kasrlarni integrallash. Ratsional kasrlarni sodda ratsional kasrlarga

misol. topilsin.

Yechish. Integral ostidagi to’g’ri kasrning maxraji
х³+4x²+4x=x(x²+4x+4)=x(x+2)²
bo’lgani uchun 35.1 –teoremaga ko’ra
bo’ladi. Buni

ko’rinishida yozib
3х²+8=А(х²+4х+4)+B(x²+2x)+Cx=(A+B)x²+(4A+2B+C)x+4A
tenglikka kelamiz. Ikki ko’phadni tengligidan foydalanib

sistemani hosil qilamiz va uni yechib

А=2, В=1, С=-10

bo’lishini topamiz. Demak
.
Buni integrallab berilgan integralni topamiz:

3-misol. topilsin.
Yechish: 35.1- teoremaga ko’ra (35.3)
yoyilmaga ega bo’lamiz, bunda A₁, A₂, M, N hozircha noma‘lum sonlar. (35.3) tenglikning o’ng tomonini umumiy maxrajga keltiramiz:
.
Bu ayniyatning maxrajlari teng bo’lgani uchun ularning suratlari ham o’zaro teng bo’ladi.
х²-5x+9=A₁(x-1)(x²+2x+2)+A₂(x²+2x+2)+(Mx+N)(x²-2x+1)
yoki
x²-5x+9=A₁(x³+x²-2)+A₂(x²+2x+2)+M(x³-2x²+x)+N(x²-2x+1).
bu yerdagi qavslarni ochib ko’phadni х ning darajalarini kamayishi tartibida joylashtirsak
x²-5x+9=(A+M)x³+(A₁+A₂-2M+N)x²+(2A₂+M-2N)x+(-2A₁+2A₂+N)
bo’ladi.
Tenglikning har ikkala tomonidagi bir xil darajali x lar oldidagi koeffitsientlarni tenglashtirib qo’yidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

Shu sistemani yechib A₁,A₂,M,N larni topamiz. Birinchi tenglamadan A=-M ni topib uni boshqa tenglamalarga qo’ysak

sistemaga ega bo’lamiz. Ikkinchi tenglamani -2 ga ko’paytirib uchinchi va to’rtinchi tenglamalarga qo’shsak

sistema kelib chiqadi. Bu sistemani oxirgi tenglamasini -4ga ko’paytirib uchinchi tenglamasiga qo’shsak -25M=-35 va bundan M= kelib chiqadi. Buni oxirgi sistemaning to’rtinchi tenglamasi 8M-N=7 ga qo’yib N ni aniqlaymiz:
N=8M-7=8∙ .
M va N ning topilgan qiymatlarini oxirgi sistemaning A₂-3M+N=1 tenglamasiga
qo’yib A₂ ni topamiz:
.
Sistemaning birinchi tenglamasidan A₁ =-M=- hosil bo’ladi. Shunday qilib
A₁=- , A₂=1, M= , N=
yechimga ega bo’lamiz. Ushbu qiymatlarni (35.3)ga qo’yib

yoyilmani hosil qilamiz. Buni integrallab berilgan integralni topamiz:
4-misol. integral topilsin.