Mavzu: Kompleks sohada kо‘phadlar. Kо‘phadlarning ildizi. Bezu teoremasi. Algebraning asosiy teoremasi. Kо‘phadning chiziqli kо‘payturuvchilarga ajratish. Eng sodda ratsional kasrlarni integrallash. Ratsional kasrlarni sodda ratsional kasrlarga

31.3. Haqiqiy koeffitsientli ko’phadni chiziqli va kvadrat uchhad ko’rinishdagi ko’paytuvchilarga ajratish
Agar п-darajali ko’phadning chiziqli ko’paytuvchilarga yoyilmasi
Р_п(х)=а_{о (}х- ₁ ) ₍х- ₂ )…(х- _п)
da ba‘zi chiziqli ko’paytuvchilar bir xil bo’lsa, ularni birlashtirish mumkin. U holda (31.1) yoyilma
Р_п(х)=а_{о (}х- ₁ ) ₍х- ₂ ) …(х- _п)
ko’rinishga ega bo’ladi, bunda к₁+к₂+…+к_т=п. Bu holda а₁ ildizga ko’phadning к₁ karrali ildizi, ₂ uning к₂ karrali ildizi deyiladi va hokazo. ko’phadning 1 karrali ildizi uning oddiy ildizi deyiladi.
Masalan, Р₆(х)= ₍х+1 )³ ₍х-2 )²(х +3)
ko’phad uchun х=-1 uch karrali, х=2 ikki karrali, х=-3 esa oddiy ildiz bo’ladi.
Agar ko’phad к karrali ildizga ega bo’lsa u к ta bir xil ildizlarga ega deb hisoblanadi.
Xulosa: Har qanday n-darajali ko’phad roppa-rosa п ta ildizga (haqiqiy va kompleks) ega.
Demak, har qanday п-darajali algebraik tenglama roppa-rosa п ta ildizlarga ega ekan. Algebraik bo’lmagan tenglamalar ildizga ega bo’lmasligi ham mumkin. Masalan е^z=0 tenglama ildizga emas.
31.2-teorema. Agar =γ+ίδ kompleks son haqiqiy koeffitsientli Р_п(х) ko’phadning ildizi bo’lsa, u holda unga qo’shma =γ-ίδ son ham shu ko’phadning ildizi bo’ladi.
Bu teoremani isbotsiz qabul qilamiz.
Bu teoremaga ko’ra (31.1) yoyilmada kompleks ildizlar o’z qo’shma juftlari bilan qatnashadilar.
(31.1) yoyilmadagim kompleks qo’shma ildizlarga mos keluvchi chiziqli ko’paytuvchilarni ko’paytiramiz:
₍х- ) ₍х- )=[х- (γ+ίδ)][х- (γ-ίδ)]=[(х- γ)-ίδ][ (х- γ)+ίδ]=
=(х- γ)²-(ίδ)²=х²-2хγ+γ²+δ²,
-2γ=ρ,γ²+δ²=q deb belgilasak
(х- ) (х- )=х²+рх+q
tenglikka ega bo’lamiz, bunda ρ va q - haqiqiy sonlar.
Shunday qilib yoyilmadagi qo’shma kompleks ildizlarga mos keladigan chiziqli ko’paytuvchilar ko’paytmasini haqiqiy koeffitsientli kvadrat uchhad bilan almashtirish mumkin ekan.
Agar γ=+iδ kompleks son ko’phadning k karrali ildizi bo’lsa, u holda =γ-iδ qo’shma kompleks son ham shu ko’phadning k karrali ildizi bo’ladi.
Bu holda (x- )^k(x-α)^k ko’paytmani (x²+pk+q)^k bilan almashtirish mumkin.
Shunday qilib, haqiqiy koeffitsientli n-darajali ko’phad darajasi tegishlicha karrali chiziqli va haqiqiy koeffitsientli kvadrat uchhad shakldagi ko’ytuvchilarga ajraladi, ya‘ni:
Р_п(х)=а_{о (}х- ₁ ) · ₍х- ₂ ) …(х- _r) ·(x²+p₁x+q₁) x
x(x²+p₂x+q₂) … (x²+p_еx+q_е) ,
bunda к₁₊ к₂₊ …+к_r+2s₁+ 2s₂+...+2s_e=n va ₁, ₂,… _r,p₁,q₁,… p_e,q_e haqiqiy sonlar.
5-misol. Р₈(х)= х⁸-х⁶-х²+1 ko’phadni ko’paytuvchilarga ajrating.
Yechish. Р₈(х)= х⁸-х⁶-х²+1= х²(х⁶-1)- (х⁶-1)= (х²-1) (х⁶-1)=
= (х-1) (х+1)((х³)²-1²)= (х-1) (х+1)(х³-1)(х³+1)= (х-1) (х+1)(х-1)х
х(х²+х+1)(х+1) (х²-х+1)= (х-1)²(х+1)²(х²+х+1)(х²-х+1).


O’z-o’zini tekshirish uchun savollar

1. 
   Ko’phad deb nimaga aytiladi?
   
2. 
   Ko’phadning ildizi nima?
   
3. 
   Qachon ko’phadlar teng deyiladi?
   
4. 
   Ko’phadlarni qo’shish, ayirish, ko’paytirish qoidalari qanday?
   
5. 
   Ko’phadlarni qoldiqsiz bo’lish deb nimaga aytiladi?
   
6. 
   Ko’phadlarni qoldiqli bo’lish deb nimaga aytiladi?
   
7. 
   Bezu teoremasini isbotlang.
   
8. 
   Bezu teoremasining natijasi nimadan iborat?
   
9. 
   Algebraning asosiy teoremasini bayon eting.
   
10. 
    Ko’phadni chiziqli ko’paytuvchilarga ajratish haqidagi teoremani bayon eting.
    
11. 
    Ko’phadning karrali va oddiy ildizlarini ta‘riflang.
    
12. 
    п-darajali ko’phad nechta ildizga ega?
    
13. 
    Haqiqiy koeffitsientli ko’phadni ko’paytuvchilarga ajratish jarayonini tushuntirib bering.
    
14. 
    Haqiqiy koeffitsientli ko’phadni o’zaro qo’shma kompleks ildizlari haqida gapiring.
    

2. Eng sodda ratsional kasrlar va ularni integrallash