Mavzu: Kompleks sohada kо‘phadlar. Kо‘phadlarning ildizi. Bezu teoremasi. Algebraning asosiy teoremasi. Kо‘phadning chiziqli kо‘payturuvchilarga ajratish. Eng sodda ratsional kasrlarni integrallash. Ratsional kasrlarni sodda ratsional kasrlarga

2-мисол. Р₄(х)=х⁴-1 ko’phad D₁(х)=х+1 ko’phadga bo’linsin.
Bo’linma va qoldiq topilsin.
Yechish. Qisqa ko’paytirish formulasi а²-в²=(а+в)(а-в) ga binoan
Р₄(х)=(х²)²-1²=(х²-1) (х²+1)=(х-1)(х+1) (х²+1).
Demak, Q₃(х)=(х-1)(х²+1) = х³-х²+х-1 bo’linma, qoldiq R(х)=0.
ya‘ni х⁴-1 ko’phad х+1 ko’phadga qoldiqsiz bo’linar ekan.
Р_п(α)=0 bo’lsa х=α son Р_п(х) ko’phadning ildizi bo’lishi yuqorida ta‘kidlandi.
Endi Р_п(х) ko’phadni х-α ga bo’lishdan chiqadigan qoldiqni bo’lish jarayonini bajarmasdan topish imkonini beradigan teoremani keltiramiz.
Bezu teoremasi. Р_п(х) ko’phadni х-α ikki hadga bo’lganda Р_п(α)ga teng qoldiq hosil bo’ladi.
Isboti. Р_п(х) ko’phadni х-α ikkihadga bo’lib
Р_п(х)=( х-α) Q_п-1(х)+R
tenglikni hosil qilamiz. Bunga х=α qiymatni qo’yib isbotlanishi lozim bo’lgan Р_п(α)=R tenglikka ega bo’lamiz.
3-misol. Р₄(х)=х⁴-2х²-3 ko’phadni: а)х-2; b)х-i ikkihadlarga bo’lishdan chiqqan qoldiqni toping.
Yechish. а) R= Р₄(2)=2⁴-2·2²-3=5.
b) R= Р₄(i)=i⁴-2·i²-3=0.


Bezu teoremasining natijasi. Agar α son Р_п(х) ko’phadning ildizi ya‘ni Р_п(α)=0 bo’lsa, Р_п(х) ko’phad х-α ga qoldiqsiz bo’linadi. Demak u
Р_п(х)=( х- α) Q_п-1(х)
ko’paytma ko’rinishda tasvirlanadi.
Demak, Р_п(х) ko’phadning х-α ga qoldiqsiz bo’linishi uchun α son Р_п(х) ko’phadning ildizi bo’lishi talab qilinar ekan.
4-misol. Р₃(х)=х³-9х²+26х-24 ko’phadning ildizlari topilsin.
Yechish. Р₃(2)=2³-9·2²+26·2-24=0 bo’lganligi sababli berilgan ko’phad x-2 ga qoldiqsiz bo’linadi, ya‘ni x=2 shu ko’phadning ildizi bo’ladi. ko’phadning boshqa ildizlarini topish uchun uni x-2 ga bo’lishdan hosil bo’ladigan bo’linmani topamiz:
_ х³-9х²+26х-24
х³-2х^{2
_______________________}
__-7х²+26х-24
-7х²+14х
^{_________________________}
_12х-24
_____ 12х-24____
0
shunday qilib,Р₃(х)=(х-2)( х²-7х+12) tenglikka ega bo’lamiz. Agar х²-7х+12=0
kvadrat tenglamaning ildizlarini topsak Р₃(х) ko’phadning qolgan ildizlarini topgan bo’lamiz:

Demak, Р₃(х)=(х-2)(х-3)(х-4) va 2,3,4 sonlar berilgan ko’phadning ildizlari bo’lar ekan.
Ko’phadni darajasi noldan farqli bir nechta ko’phadlarning ko’paytmasi shaklida tasvirlash uni ko’phadlarga ajratish deyiladi.


31.2. Algebraning asosiy teoremasi. Ko’phadni chiziqli ko’payturuvchilarga ajratish
Р_п(х) п-darajali (nЄN) ko’phad bo’lganda Р_п(х)=0 tenglama п-darajali algebraik tenglama deyiladi. Ta‘rifdan algebraik tenglamaning ildizlari Р_п(х) ko’phadning ildizlaridan iborat ekanligi kelib chiqadi.
Birinchi darajali ах+в=0 (а≠0) algebraik tenglama har doim bitta ildizga ах²+вх+с=0 kvadrat tenglama

ildizlarga ega ekanligini bilamiz. Bu holda algebraik tenglama (ko’phad)ning ildizlari uning koeffitsientlari ustida ma‘lum amallarni bajarish natijasida topiladi. uchinchi va to’rtinchi darajali algebraik tenglama (ko’phad) larning ildizlarini topish uchun ham formulalar yaratilgan. Ammo darajasi besh va undan katta bo’lgan algebraik tenglama (ko’phad) larni ildizlarini topish uchun bunaqa formulalar yaratib bo’lmasligi ko’rsatilgan.
Bu yerda biz algebraik tenglama (ko’phad)ning ildizlarini topish bilan shug’ulanmaymiz.
Istalgan algebraik tenglama (ko’phad) ildizga egami, n-darajali algebraik tenglama (ko’phad) nechta ildizga ega bo’lishi mumkin degan savollarga javob izlaymiz.
Algebraning asosiy teoremasi. Har qanday ko’phad kamida bitta (haqiqiy yoki kompleks) ildizga ega.
Bu teoremaning isbotini hozircha keltirmaymiz. Teoremaga ko’ra har qanday algebraik tenglama kamida bitta ildizga ega ekanligi kelib chiqadi. teoremadan foydalanib ushbu teoremani isbotlaymiz.
31.1-teorema. Har qanday п-darajali Р_п(х)= _ох^п+ ₁х^п-1+…+ _п
ko’phad x-α ko’rinishdagi п ta chiziqli ko’paytuvchilarga ajraladi, ya‘ni:
Р_п(х)=а_{о (}х- ₁ ) ₍х- ₂ )…(х- _п) (31.1)
ko’rinishda tasvirlash mumkin.
Isboti. Algebraning asosiy teoremasiga binoan P_n(x) ko’phad kamida bitta α₁ ildizga ega. U holda Bezu teoremasining natijasiga ko’ra bu ko’phadlarni P_n(x)=(х- ₁ )Q_n-1(x) ko’rinishda tasvirlash mumkin.
Algebraning asosiy teoremasiga binoan Q_п-1(х) ko’phad ham kamida bitta ₂ ildizga ega. U holda Bezu teoremasining natijasiga ko’ra ko’phadni
Q_п-1(х)= (х- ₂ )Q_п-2(х)
ko’rinishda tasvirlash mumkin.
Shu jarayonni davom ettirib,
Q₁(х)= (х- _п )Q₀(х)
tenglikka ega bo’lamiz, bunda Q₀ biror son. Bu son xⁿ oldidagi koeffitsient _о ga teng bo’lishi ravshan,ya‘ni Q₀=a₀.
Topilgan tengliklarga asoslanib isbotlanishi lozim bo’lgan (31.1) munosabatni hosil qilamiz. Eng oxirgi tenglikdan ₁, ₂… _п sonlar Р_п(х)
ko’phadning ildizlari ekanligi kelib chiqadi, chunki
Р_п( ₁)= Р_п( ₂)=…= Р_п( _п)=0.
Xulosa: п-darajali ko’phad п tadan ortiq har xil ildizlarga ega bo’la olmaydi.