Mavzu: L2 fazo ta’rifi va asosiy xossalari fazoda yaqinlashish turlari. Reja

7. 43.4- teorema (Fisher). Agar funksiyalar ketma-ketlik L₂ fazodagi fundamental ketma-ketlik bo’lsa, u holda L₂ fazoda shunday f(x) funksiya topiladiki, ketma-ketlik unga o’rta ma’noda yaqinlashadi.

Isbot. Ketma-ketlikning fundamentalligiga asosan, harbir k natural son uchun shunday n_k va n_k+1 natural sonlar mavjudki, ular uchun ushbu

munosabatlar bajariladi. Bundan

ekanligi kelib chiqadi.

Bunyakovskiy-Shvartskiy tengsizligiga binoan:

demak,

qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi.

38.13-teoremaga muvofiq,

qator deyarli yaqinlashuvchi bo’ladi. Bundan esa ketma-ketlikning deyarli yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.

Endi f(x) funksiyani quyidagicha tuzamiz:

Tuzilgan f(x) funksiya L₂ fazoga tegishli. Haqiqatdan, f(x) funksiyaning ta’riflanishidan Fatu teoremasiga asosan

Bo’lgani uchun bundan f(x) munosabat kelib chiqadi. Endi f(x) funksiya ketma-ketlikning o’rta ma’noda limiti ekanligini ko’rsatamiz. Avval ketma-ketlikning f(x) ga o’rta ma’noda yaqinlashuvchi ekanligini ko’rsatamiz.

Darhaqiqat, Fatu teoremasiga muvofiq,

(4)

ketma-ketlik fundamental bo’lganligi sababli berilgan son uchun shunday son topiladiki, barcha sonlar uchun

Bundan (4) ga asosan:

yoki

(5)

ya’ni ketma-ketlik o’rta ma’noda f(x) funksiyaga yaqinlashadi. Endi ketma-ketlikning ham f(x) ga o’rta ma’noda yaqinlashishini ko’rsatamiz.

Koshi tengsizligiga muvofiq,

bu yerda o’ng tomonning birinchi hadi (5) ga asosan da nolga intiladi, ikkinchi hadi ham ketma-ketlikning fundamentalliligiga asosan n va n_k da nolga intiladi.

Demak, ketma-ketlikning o’zi ham o’rta ma’noda f(x) funksiyaga yaqinlashar ekan._*