Mavzu: Lobachevskiy tekisligida to’g’ri chiziqlarning o’zaro vaziyati

Mavzu: Lobachevskiy tekisligida to’g’ri chiziqlarning o’zaro vaziyati
1.Kirish
Absolut geometriyaning barcha aksiomalari bilan birgalikda Lobachevskiy aksiomasi o’rinli bo’lgan fazo Lobachevskiy fazosi deb ataladi, unda absolut geometriyaning barcha aksiomalari o’z kuchini saqlaydi, shuning uchun biz absolyut geometriyaga taalluqli bazi faktlarni eslatib o’tamiz.

1. 
   Berilgan nuqtadan berilgan tekislikka faqat bitta perpendikulyar to’g’ri chiziq o’tadi.
   
2. 
   Ikki tekislik kesishsa, kesimda to’g’ri chiziq hosil bo’ladi.
   
3. 
   Agar to’g’ri chiziq biror tekislikda keshishgan ikki to’g’ri chiziqning har biriga perpendikulyar bo’lsa, bu to’g’ri chiziq shu tekislikka perpendikulyar bo’ladi.
   
4. 
   To’g’ri chiziq tekislikka perpendikulyar bo’lsa, bu to’g’ri chiziq orqali o’tuvchi har bir tekislik ham shu tekislikka perpendikulyar bo’ladi.
   
5. 
   Berilgan nuqta orqali berilgan to’g’ri chiziqqa perpendikulyar qilib faqat bitta tekislik o’tadi.
   
6. 
   Agar to’g’ri chiziq berilgan tekislikka perpendikulyar bo’lmasa, bu chiziq orqali berilgan tekislikka perpendikulyar qilib faqat bitta tekislik o’tadi va hokazo.
   

2.Asosiy

1-ta'rif. Fazodagi ikki to'g'ri chiziq bir tekislikda yotib, o'zaro parallel (uzoqlashuvchi) bo'lsa, ular parallel (uzoqlashuvchi) deb ataladi.

2-ta'rif. To'g'ri chiziq o'zining biror tekislikdagi proeksiyasiga parallel (yoki uning bilan uzoqlashuvchi) bo'lsa, bu to'g'ri chiziq shu tekislikka parallel (yoki uning bilan uzoqlashuvchi) deb ataladi.
Bu ta'riflardan ko'rinadiki, to'g'ri chiziq tekislikka parallel bo'lsa, ular parallellik yo'nalishi tomon bir-biriga yaqinlashadi, ular uzoqlashuvchi bo'lsa, to'g'ri chiziq bilan tekislik bitta umumiy perpendikulyarga ega bo'lib, shu perpendikulyarning ikki tomonida ular bir biridan yetarlicha uzoqlasha boradi.

Quyidagi lemmani isbotlaylik.

Lemma 1. Agar AB CD bo'lsa, u holda AB va CD to'g'ri chiziqlarning simmetriya o'qi mavjud. va P va Q nuqtalar mos ravishda AB va CD toʻgʻri chiziqlarda yotuvchi nuqtalar, h va k esa QPB va PQD burchaklarining bissektrisalari boʻlsin (224-rasm). AB dan beri CD, keyin h nuri QD nurini E nuqtada kesib o'tadi. Keyin k nuri PE segmentini S nuqtada kesib o'tadi.
S nuqta AB va CD chiziqlardan teng masofada joylashganligini isbotlaylik. S nuqtadan AB, CD va PQ to'g'ri chiziqlarga o'tkazilgan perpendikulyarlarni SHX, SH2 va 5R3 bilan belgilaymiz (224-rasm). SH = SH2 va SH2 - SH2 bo'lgani uchun, keyin SHX = SH2. Endi HXSH2 burchakning bissektrisasini o'z ichiga olgan d chiziq AB va CD chiziqlarining simmetriya o'qi ekanligi aniq bo'ldi.

Teorema 1.

Agar AB CD bo'lsa, CD AB bo'ladi. P AB chiziqning ixtiyoriy nuqtasi, a d esa AB va CD simmetrik chiziqlarning o‘qi bo‘lsin (1-Lemmaga qarang). Keyin d to'g'ri chiziqqa nisbatan P nuqtaga simmetrik Q nuqta CD to'g'ri chiziqda yotadi (225-rasm). Teoremani isbotlash uchun biz chiziqlar uchun parallellik testidan foydalanamiz . A B va CD chiziqlar kesishmaydi, shuning uchun PQD burchakning istalgan ichki nuri PB nur bilan kesishishini isbotlash kifoya. h PQD burchakning ixtiyoriy ichki nuri, I ' nuri esa d to'g'ri chiziqqa nisbatan I nurga simmetrik bo'lsin. PQD burchagi QPB burchagiga simmetrik va I PQD burchakning ichki nuri bo‘lgani uchun, h' QPB burchakning ichki nuridir. Lekin LW || CD, shuning uchun A ' nuri QD nurini kesib o'tadi. Bundan kelib chiqadiki, I nur ham PB nurini kesib o'tadi.
(225-rasm)


Xulosa
Nikolay Lobachevskiy (1792-1856) rus matematikasi va geometriyachisi edi. U quyidagi tekisliklarda to'g'ri chiziqlarning o'zaro vaziyatini o'rganishga xizmat qilgan:
Giperbolik geometriya: Lobachevskiy, hiperbolik geometriya mavzusidagi ishlari bilan mashhur bo'ldi. Uning bu geometriya turi, Euklid geometriyasi va Lobachevskiyning o'zgartirilgan geometriyasi (non-Euclidean geometry) orasidagi farqni ko'rsatadi. Giperbolik geometriya, to'g'ri chiziqlarning xususiyatlari va boshqa matematik konseptlarni tanilashda o'zgaruvchan qonuniyatlarni isbotlashga yordam badiiy berdi.
Lobachevskiyning o'zgartirilgan geometriyasi, o'z zamonida yo'qotilgan Evklid geometriyasi asosida qurilgan tuzilmalarni o'zgartirish uchun bir tiklaydi. Bu, geometriyaning asosiy prinsiplaridan birining o'zgarishi, ya'ni to'g'ri chiziqlarning o'zaro vaziyatining Evklid modelidan farqli bo'lishi, matematika va fizika sohasida katta ta'sir qildi.