Mavzu. Matritsa ustida almashtirishlar
Download 423.49 Kb. Pdf ko'rish
|
matritsa ustida almashtirishlar
- Bu sahifa navigatsiya:
- REFERAT MAVZU. MATRITSA USTIDA
- 1-izoh.
- Teskari matritsani topishning Gauss-Jordan usuli
|
OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
TOSHKENT ARXITEKTURA QURILISH INSTITUTI
MATEMATIKA VA TABIIY FANLAR KAFEDRASI REFERAT MAVZU. MATRITSA USTIDA ALMASHTIRISHLAR TOSHKENT 2016 MATRITSA USTIDA ALMASHTIRISHLAR Reja: 1.
Teskari matritsa 2.
Teskari matritsani topish usullari 3. Matritsaning rangi
Matritsa ustida almashtirishlar chiziqli algebrada muhim ro‘l o‘ynaydi. Jumladan, chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topishda, teskari matritsani aniqlashda, matritsaning rangini hisoblashda matritsa ustidagi almashtirishlardan keng foydalaniladi 1 . Matritsa satri (ustuni) ustida elementar almashtirishlar uch tipda bo‘ladi 2 :
II. satrni (ustunni) noldan farqli songa ko‘paytirish; III. satrga (ustunga) noldan farqli songa ko‘paytirilgan boshqa satrni (ustunni) qo‘shish. Biri ikkinchisidan elementar almashtirishlar natijasida hosil qilingan A va B matritsalarga ekvivalent matritsalar deyiladi va A ~ B ko‘rinishda yoziladi. 3.1. Teskari matritsa Asosiy ushunchalar Matritsalarni qo‘shish, ayirish va ko‘paytirish sonlar ustida bajariladigan mos amallarga monand (hamohang) amallar hisoblanadi. Ushbu bandda matritsalar uchun sonlarni bo‘lish amaliga monand amal bilan tanishamiz. Ma’lumki, agar k soni nolga teng bo‘lmasa, u holda har qanday m soni uchun
tenglama yagona m k k m x 1 yechimga ega bo‘ladi, bu yerda 1
k soniga teskari son deb ataladi.
1
2
Lay, David C. Linear algebra and is applications. Copyright. 2012, pp.162-169
Sonlar uchun keltirilgan bu tasdiq matritsali tenglamalarni sonli tenglamalarga monand yechishda muhim ro‘l o‘ynaydi. Xususan, sonli tenglamalar uchun 1 1
kk va
1 1 k k shartlarining bajarilishi hal qiluvchi hisoblansa, matritsali tenglamalar uchun
1 va I A A 1 shartlarning bajarilishi muhim hisoblanadi, bu yerda
A, bir xil o‘lchamli kvadrat matritsalar 3 .
Agar A va 1 A kvadrat matritsalar uchun I A A AA 1 1 tenglik bajarilsa, 1 A matritsa A matritsaga teskari matritsa deyiladi.
Sonlarda, 1
0
bo‘lishi talab etilgani kabi, matritsalarda, 1
mavjud bo‘lishi uchun 0 det A bo‘lishi talab qilinadi. Agar 0 det A bo‘lsa, A matritsaga singular matritsa deyiladi. Bunda singular so‘ziga sinonim sifatida «
» yoki « maxsus » terminlaridan ham foydalaniladi. Agar 0 det A bo‘lsa, A matritsa nosingular (yoki
xosmas yoki
maxsusmas )
deb ataladi. Agar
A matritsada avval elementlarni mos algebraik to‘ldiruvchilar bilan almashtirilsa va keyin transponirlansa, hosil bo‘lgan matritsa A matritsaga biriktirilgan matritsa deyiladi va A adj
bilan belgilanadi 4 : . adj
2 1 2 22 12 1 21 11 nn n n n n A A A A A A A A A A
Teskari matritsa haqida teoremalar
Xos matritsa teskari matritsaga ega bo‘lmaydi.
A matritsa uchun 1
mavjud bo‘lsin deb faraz qilaylik. U holda I AA 1 bo‘ladi. Bundan I AA det
) det(
1 yoki I A A det
det det
1 kelib
chiqadi. Bunda 0 det A va 1 det
I ekanini hisobga olsak, 1 0
ziddiyat hosil bo‘ladi. Bu ziddiyat qilingan faraz noto‘g‘ri ekanini ko‘rsatadi, ya’ni teoremani isbotlaydi.
3
4
Kenneth L. Kuttler-Elementary Linear Algebra [Lecture notes] (2015). pp. 96-99
2- teorema. Har qanday xosmas A matritsa uchun teskari matritsa mavjud va yagona bo‘ladi. Isboti.
0 det
A bo‘lsin. Avval 1
mavjud bo‘lishini ko‘rsatamiz. Buning uchun A matritsani A A adj
det 1 matritsaga ko‘paytiramiz va ko‘paytmaga determinantning 9- va 10- xossalarini qo‘llaymiz:
A A A A A A A A A A A A A A A A A a a a a a a a a a adjA A A nn n n n n nn n n n n det
det det
det det
det det
det det
det 1 2 1 2 22 12 1 21 11 2 1 2 22 21 1 12 11
A a A a A a A A a A a A a A A a A a A a A A a A a A a A A a A a A a A A a A a A a A A a A a A a A A a A a A a A A a A a A a nn nn n n n n n nn n n n nn n n nn n n n n n n n nn n n n n n n n det
... ...
det ...
det ...
... ...
... ...
det ...
... det
... det
... det
... ...
det ...
det ...
2 2 1 1 2 22 2 21 1 1 12 2 11 1 2 2 22 1 21 2 2 22 22 21 21 1 2 12 22 11 21 1 2 12 1 11 2 1 22 12 21 11 1 1 12 12 11 11 . 1 0 0 0 1 0 0 0 1 det det 0 0 0 det
det 0 0 0 det
det 1 AA I A A A A A A Demak,
A matritsaga teskari matritsa mavjud va bu matritsa
adjA A A det
1 1 (1.3.1) formula bilan topiladi. Bunda
AA 1
tenglik bajariladi.
I A A 1
tenglikning bajarilishi shu kabi ko‘rsatiladi. Endi 1 A yagona ekanini ko‘rsatamiz. Buning uchun 1
dan boshqa A matritsaga teskari C matritsa mavjud bo‘lsin deb faraz qilamiz. U holda ta’rifga ko‘ra I AC bo‘ladi. Bu tenglikning har ikkala tamonini 1
ga chapdan ko‘paytiramiz: . 1
I A AC A
I A A 1 bo‘lgani uchun I A IC 1 bo‘ladi. Endi C IC va 1 1
I A ekanini
hisobga olsak, 1 A C kelib chiqadi. Teorema to‘liq isbot qilindi. 3- teorema. Teskari matritsa uchun ushbu xossalar o‘rinli bo‘ladi 5 : . 1
A matritsa 1 A teskari matritsaga ega bo‘lsa, A A det
1 det
1 bo‘ladi; . 2 o
1
teskari matritsaga ega bo‘lsa, A A 1 1 ) ( bo‘ladi; . 3
o‘lchamli A va B matritsalar 1 A va
1
teskari matritsalarga ega bo‘lsa,
1 1 1 ) ( A B AB bo‘ladi; . 4
A matritsa 1 A teskari matritsaga ega bo‘lsa, T T A A ) ( ) ( 1 1 bo‘ladi. Isboti. 1)
A matritsa uchun 1 A mavjud bo‘lsin. U holda I AA 1 yoki I AA det
) det(
1 bo‘ladi. Bundan 1 det det 1
A yoki
A A det
1 det
1 kelib chiqadi. 2)
1
mavjud bo‘lsin. U holda
1 1
tengliklarga ko‘ra 1
matritsa uchun teskari matritsa mavjud va u
ya’ni
A A 1 1 ) ( bo‘ladi. 3) n n o‘lchamli A va B matritsalar 1 A va
1
teskari matritsalarga ega bo‘lsin. U holda AB va 1 1
A B matritsalar uchun , )
) )( ( 1 1 1 1 1 1 I B B IB B B A A B AB A B
I AA AIA A BB A A B AB 1 1 1 1 1 1 ) ( ) )( (
bo‘ladi. Demak, AB uchun teskari matritsa mavjud va 1 1 1 ) ( A B AB bo‘ladi. 4)
1 A mavjud bo‘lsin. U holda T A va
T A ) ( 1 matritsalar uchun ,
( ) ( 1 1
I A A A A T T T T I I AA A A T T T T ) ( ) ( 1 1 bo‘ladi. Demak, T A uchun teskari matritsa mavjud va T T A A ) ( ) ( 1 1 bo‘ladi.
5 Lay, David C. Linear algebra and is applications. Copyright. 2012, pp.162-169 1-izoh.
3 xossani k ta
o‘lchamli va teskari matritsalarga ega bo‘lgan matritsalar uchun quyidagicha umumlashtirish mumkin:
. ... ... 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 A A A A A A A A k k k k
Bu formula matematik induksiya metodi bilan isbotlanadi 6 .
2 1 4 3
matritsaga teskari matritsani toping va natijani tekshiring. Yechish. Berilgan matritsaning determinantini hisoblaymiz: . 2
6 2 1 4 3 det A
0 det
va
matritsa uchun teskari matritsa mavjud. Matritsa elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarini topamiz:
, 2 2 ) 1 ( 1 1 11 A
, 1
) 1 ( 2 1 12
,
4 ) 1 ( 1 2 21 A
. 3
) 1 ( 2 2 22 A
. 3
4 2 22 12 21 11 A A A A adjA
. 2 3 2 1 2 1 3 1 4 2 2 1 3 1 4 2 det 1 1
A
. 1
0 1 2 3 2 1 2 1 2 1 4 3 1 I AA
3.2-misol.
1 1 2 1 0 2 1 2 1 A
matritsaga teskari matritsani toping . Yechish. Bu matritsa uchun: . 0
1 4 0 2 4 0 1 1 2 1 0 2 1 2 1 det A
6 Lay, David C. Linear algebra and is applications. Copyright. 2012, pp.162-169 Matritsa elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarini topamiz:
, 1 1 1 1 0 11 A
, 3
1 1 2 21
, 2 1 0 1 2 31 A
, 0 1 2 1 2 12 A
, 3 1 2 1 1 22 A
, 3
2 1 1 32
, 2 1 2 0 2 13 A
, 3
2 2 1 23 A
. 4 0 2 2 1 33 A
A matritsaga biriktirilgan matritsani topamiz: . 4 3 2 3 3 0 2 3 1 adj 33 23 13 32 22 12 31 21 11 A A A A A A A A A A
3 4 1 3 2 1 1 0 3 2 1 3 1 4 3 2 3 3 0 2 3 1 det
1 1
A .
A xosmas matritsaning 1 A teskari matritsasini topishning qulay usullaridan biri matritsa satrlari ustida elementar almashtirishlarga asoslangan
hisoblanadi. 1
matritsani topishning Gauss-Jordan usuli ushbu tartibda amalga oshiriladi 7 . 7
Kenneth L. Kuttler-Elementary Linear Algebra [Lecture notes] (2015). pp. 96-99
Gauss-Jordan usulining algoritmi . 1
) | ( I A kengaytirilgan matritsa tuziladi;
. 2 o Elementar almashtirishlar yordamida ) |
I A matritsa ) |
B I
ko‘rinishga keltiriladi. Bunda B matritsa A matritsa uchun teskari matritsa bo‘ladi.
3 1 1 2 A
matritsaga teskari marritsani Gauss-Jardon usuli bilan toping va natijani tekshiring.
2
1 ) 2 ( 1 0 0 1 2 1 1 3 ) | ( r r r I A ~ ~ 1 2 2 ) 1 ( 1 0 2 1 2 1 3 1
r r ~ 5 : 3 1 2 1 5 0 3 1 2 2 r r ~ ~ 5 : 5 3 5 1 2 1 1 0 3 1 2 2
r ~ ). | ( 5 3 5 1 5 1 5 2 1 0 0 1 1
I
Yuqorida keltirilgan k i i r r r belgilash i -satr bu satrga songa ko‘paytirilgan k - satrni qo‘shish natijasida hosil qilinganini, : i i r r belgi esa i - satr bu satrni songa bo‘lish natijasida hosil qilinganini bildiradi. Demak, . 3 1 1 2 5 1 5 3 5 1 5 1 5 2 1 A
. 5
0 5 5 1 3 1 1 2 5 1 2 1 1 3 1 I AA
4 1 2 0 3 1 2 1 1 A
matritsaga teskari marritsani Gauss-Jardon usuli bilan toping.
1 3 3 1 2 2 ) 2 ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 1 2 0 3 1 2 1 1 ) | ( r r r r r r I A ~ ~ 2 : 1 0 2 0 1 1 0 0 1 0 3 0 2 2 0 2 1 1 2 2 r r ~ 2 3 3 2 1 1 ) 3 ( 1 0 2 0 2 1 2 1 0 0 1 0 3 0 1 1 0 2 1 1
r r r r r ~ ~ ) 3 ( : 1 2 3 2 7 0 2 1 2 1 0 2 1 2 3 3 0 0 1 1 0 3 0 1 3 3 r r ~ 3 2 2 3 1 1 ) 1 ( ) 3 ( 3 1 2 1 6 7 0 2 1 2 1 0 2 1 2 3 1 0 0 1 1 0 3 0 1 r r r r r r ~ ~ ). | ( 3 1 2 1 6 7 3 1 0 3 2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 A I
Demak, . 3 1 2 1 6 7 3 1 0 3 2 1 1 2 1
Download 423.49 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|